Giải hệ phương trình \(\small \left\{\begin{matrix} \sqrt{x^2-x-y-1}.\sqrt[3]{x-y-1}=y+1\\ x+y+1+\sqrt{2x+y}=\sqrt{5x^2+3y^2+3x+7y} \end{matrix}\right.(x;y\in R)\)

minhanhhlqn

5 năm trước

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 246 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Irisnguyen

Điều kiện: \(\small \left\{\begin{matrix} x^2-x-y-1\geq 0\\ 2x+y\geq 0\\ 5x^2+3y^2+3x+7y\geq 0 \end{matrix}\right.\)
Trường hợp 1: \(\small x^2-x-y-1=0\Rightarrow y+1=0\Rightarrow x^2-x=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=0\\ x=1 \end{matrix}\)
Thử lại vào phương trình (2) thấy \(\small \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=-1 \end{matrix}\right.\) thỏa mãn. Suy ra (1;-2) là nghiệm HPT.

Trường hợp 2: \(\small x^2-x-y-1> 0\)

\((1)\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-y-1}=\frac{y-1}{\sqrt{x^2-x-y-1}}\)
\(\Leftrightarrow \sqrt[3]{x-y-1}-1=\frac{y+1}{\sqrt{x^2-x-y-1}}-1\)
\(\Leftrightarrow \frac{x-y-2}{\sqrt[3]{(x-y-1)^2}+\sqrt[3]{x-y-1}+1}=\frac{-(x+y+1)(x-y-2)}{\sqrt{x^2-x-y-1}+y+1}\)
Ta có:
\((x-y-2)\left [ \frac{1}{\sqrt[3]{(x-y-1)^2}+\sqrt[3]{x-y-1}+1}+\frac{x+y+1}{\sqrt{x^2-x-y-1}+y+1}\right ]\) = 0
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x-y-2=0\\ \frac{1}{\sqrt[3]{(x-y-1)^2}+\sqrt[3]{x-y-1}+1}+\frac{x+y+1}{\sqrt{x^2-x-y-1}+y+1}=0\ \ (*) \end{matrix}\)
Vì
\(\left\{\begin{matrix} x^2-x-y-1>0\\ 2x+y\geq 0 \end{matrix}\right.\Rightarrow x^2-x> y+1\geq -2x+1\Rightarrow x^2+x-1> 0\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x> \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ x< \frac{-1-\sqrt{5}}{2} \end{matrix}\)
Nên \(y\geq -2x<1+\sqrt{5}\Rightarrow y+1> 2+\sqrt{5}>0\Rightarrow x+y+1>0\)
Do đó PT (*) vô nghiệm.
Suy ra y = x – 2.
Thế vào phương trình (2) ta được:
\(2x-1+\sqrt{3x-2}=\sqrt{8x^2-2x-2}\Leftrightarrow 2x-1+\sqrt{3x-2}=\sqrt{2(2x-1)^2+2(3x-2)}\)
Điều kiện: \(x\geq \frac{2}{3}\)
Đặt \(\left\{\begin{matrix} 2x-1=a\ (a\geq \frac{1}{3})\\ \sqrt{3x-2}=b\ (b\geq 0) \end{matrix}\right.\)
Phương trình trở thành
\(a+b=\sqrt{2a^2+2b^2}\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=2a^2+2b^2\Leftrightarrow (a-b)^2=0\Leftrightarrow a=b\)
Từ đó ta có:
\(2x-1=\sqrt{3x-2}\Leftrightarrow 4x^2-4x+1=3c-2\Leftrightarrow 4x^2-7x+3-9\)
\(\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} x=1\\ x=\frac{3}{4} \end{matrix}(T/M)\)
+) x = 1 => y = -1. Thử lại HPT thấy thỏa mãn.
+) \(x=\frac{3}{4}\Rightarrow y=-\frac{5}{4}\). Thử lại HPT không thỏa mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) =(1;-1)

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Giải hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} \sqrt[3]{4y^2+4y}=\sqrt{x^3-1}+x+4y+2\\ \\ 2(2y^3+x^3)+3y(x+1)^2+6x(x+1)+2=0 \end{matrix}\right.(x,y\in R)\)

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng \(\Delta :y-2=0\) và các điểm A B (0;6), (4;4). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB. Tìm tọa độ điểm C trên đường thẳng \(\Delta\) sao cho tam giác ABC vuông tại B.

Em sẽ rất biết ơn ai giải giúp em bài này!

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD biết AB= \(\frac{3}{2}\) AD  . Gọi F là điểm thuộc đoạn thẳng BC sao cho BF= \(\frac{3}{4}\)BC. Đường tròn (T) ngoại tiếp tam giác ABF có phương trình \((x-\frac{9}{4})^2+(y-\frac{1}{4})^2=\frac{225}{8}\). Đường thẳng d đi qua hai điểm A, C có phương trình \(3x+11y-2=0\). Tìm tọa độ đỉnh C biết điểm A có hoành độ âm.

Help me!

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} \sqrt{9y^2+(2y+3)(y-x)}+4\sqrt{xy}=7x\\ (2y-1)\sqrt{1+x}+(2y+1)\sqrt{1-x}=2y \end{matrix}\right.\) trên tập số thực.

Làm toát mồ hôi mà vẫn không ra, giúp em vs!

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD vuông tại B và C có AB > CD và CD = BC. Đường tròn đường kính AB có phương trình x 2 + y 2 – 4x – 5 = 0 cắt cạnh AD của hình thang tại điểm thứ hai N. Gọi M là hình chiếu vuông góc của D trên đường thẳng AB. Biết điểm N có tung độ dương và đường thẳng MN có phương trình 3x + y – 3 = 0, tìm tọa độ của các đỉnh A, B, C, D của hình thang ABCD.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(-1;2). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AD và DC; K là giao điểm của BN với CM. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình 2x + y - 8 = 0 và điểm B có hoành độ lớn hơn 2.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn \((C):x^{2}+y^{2}-2x+4y+2=0\). Viết phương trình đường tròn \((C')\) tâm M(5, 1) biết \((C')\) cắt \((C)\) tại các điểm A, B sao cho \(AB=\sqrt{3}\).

Giải hệ phương trình \(\left\{\begin{matrix} (1-y)\sqrt{x^2+2y^2}=x+2y+3xy\\ \sqrt{y+1}+\sqrt{x^2+2y^2}=2y-x \end{matrix}\right. \ \ \ (x,y\in R)\)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): \(x^2+y^2=25\) ngoại tiếp ABC nhọn có chân các đường cao hạ từ B, C lần lượt là M(-1;3), N(2;-3). Tìm tọa độ các đỉnh \(\Delta\)ABC, biết rằng điểm A có tung độ âm.

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3; -1). Điểm E(-1; -3) nằm trên đường thẳng \(\Delta\) chứa đường cao qua đỉnh B. Đường thẳng AC qua F(1; 3). Tìm tọa độ các đỉnh của \(\triangle ABC\) có đường kính AD với D(4; -2).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến