$\begin{array}{l} \dfrac{1}{{n - 2}}\left( {\dfrac{5}{{n + 1}}.\dfrac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n - 3} \right)!.4!}} - \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)!}}{{12\left( {n - 3} \right)\left( {n - 4} \right)!.2!}}} \right) \le 5\\ \left( {n \ge 4,n \in \mathbb{N}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{n - 2}}\left( {\dfrac{5}{{n + 1}}.\dfrac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{{4!}} - \dfrac{{n\left( {n - 3} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)}}{{12\left( {n - 3} \right).2!}}} \right) \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{n - 2}}\left( {\dfrac{{5\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{{24}} - \dfrac{{\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{{24}}} \right) \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{n - 2}}.\dfrac{{4\left( {n - 2} \right)\left( {n - 1} \right)n}}{{24}} \le 5\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{6} \le 5 \Leftrightarrow {n^2} - n \le 30\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 30 \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {n + 5} \right)\left( {n - 6} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow - 5 \le n \le 6\\ \Rightarrow 4 \le n \le 6 \Rightarrow n \in \left\{ {4;5;6} \right\}\\ b)\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 6} \right)!6!}}.\dfrac{{n!}}{{\left( {n - 5} \right)!5!}} \le \dfrac{1}{{\left( {n - 5} \right)!}}\\ \Leftrightarrow C_n^6.C_n^5 \le \dfrac{1}{{\left( {n - 5} \right)!}}\left( {0 \le 6 \le n,n \in \mathbb{N}} \right)\\ n = 6 \Rightarrow C_6^6C_6^5 = 6,\dfrac{1}{{\left( {6 - 5} \right)!}} = 1 \Rightarrow C_6^6C_6^5 > \dfrac{1}{{\left( {6 - 5} \right)!}}\\ n > 6 \Rightarrow C_n^6.C_n^5 > C_6^6C_6^5 > \dfrac{1}{{\left( {6 - 5} \right)!}} > \dfrac{1}{{\left( {n - 5} \right)!}}\\ \Rightarrow n \in \emptyset \end{array}$
