Lùi vô hạn.
Ta có: $a\in Z\to a≡0,1,2,3,4,5,6\pmod{7}$
$\to a^2≡0,1,2,3,4\pmod{7}$
Tương tự: $b^2≡0,1,2,3,4\pmod{7} (b\in Z)$
Nếu để $a^2+b^2≡0\pmod{7}$ thì chắc chắn $a^2≡0\pmod{7},b^2≡0\pmod{7}$
Áp dụng vào bài:
$x^2+y^2=7z^2$ mà $7z^2≡0\pmod{7}$
$\to x^2+y^2≡0\pmod{7}\\\to\begin{cases} x^2≡0\pmod{7}\\y^2≡0\pmod{7} \end{cases}\\\to \begin{cases} x≡0\pmod{7}\\y≡0\pmod{7} \end{cases}$
Đặt: $x=7x_1, y=7y_1(x_1,y_1\in Z)$
Pt viết lại: $49x_1^2 +49y_1^2=7z^2$
$\to 7x_1^2 + 7y_1^2 = z^2$ mà $7x_1^2+7y_1^2≡0\pmod{7}$
$\to z^2≡0\pmod{7}\\\to z≡0\pmod{7}$
Đặt: $z=7z_1(z_1\in Z)$
Pt viết lại: $7x_1^2+7y_1^2=49z_1^2$
$\to x_1^2+y_1^2=7z_1^2$
Nếu coi $(x_1;y_1;z_1)$ là nghiệm của phương trình ban đầu thì $\left(\dfrac{x}{7};\dfrac{y}{7};\dfrac{z}{7}\right)$ cũng là nghiệm của phương trình ban đầu.
Do đó cứ chia $7$ liên tục thì ta vẫn được cặp nghiệm của phương trình ban đầu.
Tổng quát thì phương trình ban đầu có nghiệm $\left(\dfrac{x}{7^k};\dfrac{y}{7^k};\dfrac{z}{7^k}\right)(k>0)$
$\to x=y=z=0$ (T/m)
Vậy $(x;y;z)=(0;0;0)$ là nghiệm của pt.
