Hàm số $f(x)=\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{\sqrt{{{x}^{2}}+1}-x}-2{{x}^{2}}-1$ là A. Hàm số lẻ. B. Hàm số chẵn. C. Hàm số vừa lẻ vừa chẵn. D. Hàm không chẵn không lẻ.
Đáp án đúng: A Ta có: $\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=|x|\ge x$$\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x e 0$ với mọi x. Suy ra, TXĐ : D = R Mặt khác,$\sqrt{{{x}^{2}}+1}>\sqrt{{{x}^{2}}}=|x|\ge -x$$\Rightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+1}-x e 0$, do đó : $f(x)=\frac{{{(x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})}^{2}}}{(x+\sqrt{{{x}^{2}}+1})(x-\sqrt{{{x}^{2}}+1})}-2{{x}^{2}}-1$$=2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}$ Với mọi x ∈ R ta có : -x ∈ R và$f(-x)=2(-x)\sqrt{{{(-x)}^{2}}+1}$$=-2x\sqrt{{{x}^{2}}+1}=-f(x)$ Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ. Chọn A.