Cho các số thực \(x,y\) dương thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{3xy + {x^2}}}} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 1 \le 3xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{2xy - {y^2}}}\).
A.\(\dfrac{1}{2}\).
B.\(\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).
C.\(\dfrac{3}{2}\).
D.\(\dfrac{5}{2}\).

Có 56 cái cốc như nhau, được xếp đều vào 7 hộp. Hỏi có 4576 cái cốc cùng loại thì xếp được vào bao nhiêu hộp như thế ?.
A.562 hộp.
B.578 hộp.
C.577 hộp.
D.572 hộp.

Tập hợp các giá trị của tham số m để hàm số \(y = {x^3} - m\,{x^2} + 3x - 3\) có hai điểm cực trị là:
A.\(\left( { - 1;3} \right)\)
B.\(\left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\).
C.\(\left( {1;2} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)\)
D.\(\left[ { - 1;3} \right]\).

Nếu phương trình \(\log _2^2x - \left( {m + 2} \right){\log _2}x + 2m = 0\) (m là tham số) có hai nghiệm thực phân biệt \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} + {x_2} = 12\) thì giá trị của biểu thức \(\left| {x_1^2 - x_2^2} \right|\) bằng:
A.\(4\)
B.\(48\)
C.\(8\)
D.\(3\)

Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \({4^x} + 7 = {2^{x + 3}} + {m^2} + 6m\) có nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right)\).
A.\( - 21\).
B.\( - 22\).
C.\( - 20\).
D.\( - 35\).

Cho hình trụ có chiều cao \(h = 2a\), các đường tròn đáy lần lượt là \(\left( {O;R} \right)\) và \(\left( {O';R} \right)\) với \(R = a\). Biết \(AB\) là đường kính cố định của đường tròn \(\left( {O;R} \right)\) và \(MN\) là một đường kính thay đổi trên đường tròn \(\left( {O';R} \right)\) sao cho \(AB\) và \(MN\) không đồng phẳng. Tính giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện \(ABMN\).
A.\(\sqrt 2 {a^3}\)
B.\(3{a^3}\)
C.\(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)
D.\(\dfrac{{4{a^3}}}{3}\)

Cho một tứ diện đều \(S.ABC\) có chiều cao h. Ở ba góc của tứ diện, người ta cắt đi các tứ diện đều có chiều cao x để khối đa diện còn lại có thể tích bằng một nửa thể tích khối tứ diện đều ban đầu. Tìm x.
A.\(x = \dfrac{h}{{\sqrt[3]{2}}}\).
B.\(x = \dfrac{h}{{\sqrt[3]{4}}}\).
C.\(x = \dfrac{h}{{\sqrt[3]{3}}}\).
D.\(x = \dfrac{h}{{\sqrt[3]{6}}}\).

Thể tích khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy r là
A.\(\dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).
B.\(3\pi {r^2}h\).
C.\(\dfrac{4}{3}\pi {r^2}h\).
D.\(\pi {r^2}h\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị của hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = g\left( x \right) = 3f\left( { - \sqrt {x - m} } \right) + \left( {x - m} \right)\sqrt {x - m} \) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0;3} \right)\)?
A.\(4\)
B.\(3\)
C.\(1\)
D.\(2\)

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Các điểm \(E,F\) lần lượt là trung điểm của \(C'B'\) và \(C'D'\). Tính diện tích thiết diện của hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\).
A.\(\dfrac{{{a^2}\sqrt {17} }}{4}\).
B.\(\dfrac{{{a^2}\sqrt {17} }}{8}\).
C.\(\dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{24}}\).
D.\(\dfrac{{7{a^2}\sqrt {17} }}{{12}}\).