Đáp án đúng: A
Phương pháp giải:
- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(f\left( x \right) = m\).
- Khảo sát và vẽ BBT của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
- Dựa vào BBT xác định điều kiện để phương trình có nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right)\).
Giải chi tiết:Ta có: \({4^x} + 7 = {2^{x + 3}} + {m^2} + 6m \Leftrightarrow {4^x} - {8.2^x} = {m^2} + 6m - 7\)
Xét \(f\left( x \right) = {4^x} - {8.2^x},\,\,\,x \in \left( {1;3} \right)\)ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = {4^x}\ln 4 - {8.2^x}\ln 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\ln {2.2^{2x}} - 8\ln {2.2^x}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\ln {2.2^x}.\left( {{2^x} - 4} \right)\end{array}\)
\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {2^x} - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2\)
Bảng biến thiên :
\( \Rightarrow \) Tập giá trị của \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( {1;3} \right)\) là: \(\left[ { - 16;0} \right)\).
Để phương trình đã cho có nghiệm \(x \in \left( {1;3} \right)\)thì \( - 16 \le {m^2} + 6m - 7 < 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 6m + 9 \ge 0\\{m^2} + 6m - 7 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 7 < m < 1\)
Mà m là số nguyên \( \Rightarrow m \in \left\{ { - 6; - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0} \right\}\)
Tổng các giá trị của m là: \( - 21\).
Chọn A.
