Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh$a,\,\,SA=SB=SC=a$. Thể tích lớn nhất của khối chóp$S.ABCD$ làA. $\frac{{3{{a}^{3}}}}{8}$

Ngutoanphan

2 năm trước

Khối chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh$a,\,\,SA=SB=SC=a$. Thể tích lớn nhất của khối chóp$S.ABCD$ là
A. $\frac{{3{{a}^{3}}}}{8}$
B. $\frac{{{{a}^{3}}}}{2}$
C. $\frac{{{{a}^{3}}}}{8}$
D. $\frac{{{{a}^{3}}}}{4}$

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

thanhthutruong775

Đáp án đúng: C

Do $SA=SB=SC$ nên hình chiếu của đỉnh S
là giao điểm H của AC và BD.
Đặt$\widehat{{ABC}}=\alpha $ thì$\widehat{{BAC}}={{180}^{0}}-2\alpha $.
Diện tích tam giác$ABC$ là
${{S}_{{ABC}}}=\frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{{ABC}}=\frac{{{{a}^{2}}}}{2}.\sin 2\alpha ={{a}^{2}}\sin \alpha \cos \alpha $
Theo định lí hàm số sin có:
$\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{\sin \widehat{{ABC}}}}=2HA\Rightarrow HA=\frac{a}{{2\sin \alpha }}\\\Rightarrow SH=\sqrt{{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}}=\sqrt{{{{a}^{2}}-\frac{{{{a}^{2}}}}{{4{{{\sin }}^{2}}\alpha }}}}\end{array}$
Ta có${{V}_{{S.ABC}}}=\frac{1}{3}SH.{{S}_{{ABC}}}=\frac{{{{a}^{3}}}}{6}\sqrt{{4{{{\sin }}^{2}}\alpha {{{\cos }}^{2}}\alpha -{{{\cos }}^{2}}\alpha }}$
$4{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha -{{\cos }^{2}}\alpha =3{{\cos }^{2}}\alpha -4{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{9}{{16}}-{{(\frac{3}{4}-2{{\cos }^{2}}\alpha )}^{2}}\le \frac{9}{{16}}$
Do đó${{V}_{{\max }}}=\frac{{{{a}^{3}}}}{8}$.
Đáp án C.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi K là trung điểm của cạnh SC. Mặt phẳng (P) qua AK cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N. Gọi V, V’ lần lượt là thể tích các khối$S.ABCD$và$S.AMKN$. Tỉ số$\frac{{V'}}{V}$ có giá trị nhỏ nhất là
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng$2\sqrt{2}{{a}^{2}}$.
Thể tích của khối lập phương$ABCD.A'B'C'D'$ là
A. $2\sqrt{2}{{a}^{3}}$
B. $2{{a}^{3}}$
C. $\sqrt{2}{{a}^{3}}$
D. ${{a}^{3}}$

Cho hình chóp có thể tích bằng 48, đáy ABCD hình thoi. Các điểm M, N, P, Q lần lượt thuộc SA, SB, SC, SD thỏa mãn: Thể tích khối chóplà
A.
B.
C.
D.

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 3a, SA=2a vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp là
A. $2{{a}^{3}}.$
B. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{4}.$
C. $\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2}.$
D. $\frac{{{a}^{3}}}{2}.$

Thể tích tứ diện đều cạnh 2a là
A. $\displaystyle 2\sqrt{2}{{a}^{3}}$
B. $\displaystyle \frac{{2\sqrt{2}}}{3}{{a}^{3}}$
C. $\displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{6}{{a}^{3}}$
D. $\displaystyle \frac{{\sqrt{2}}}{2}{{a}^{3}}$

Cho hình chóp S.ABCD có $AB=a,BC=a\sqrt{3},AC=a\sqrt{5}$ và SA vuông góc với mặt đáy, SB tạo với đáy góc${{45}^{0}}$. Thể tích của khối chóp S.ABC là
A. $\frac{{\sqrt{{11}}}}{{12}}{{a}^{3}}$
B. $\frac{{{{a}^{3}}}}{{12}}$
C. $\frac{{\sqrt{3}}}{{12}}{{a}^{3}}$
D. $\frac{{\sqrt{{15}}}}{{12}}{{a}^{3}}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD, $BC=2AB=2a$, tam giác SAC nằm trong mặt phẳng vuông góc với$(ABCD)$,$\widehat{{SAC}}={{60}^{0}},\,SA=2a$. Tính thể tích V của khối chóp$S.ABCD$
A. $V=\frac{{\sqrt{3}{{a}^{3}}}}{3}$
B. $V=\frac{{{{a}^{3}}}}{3}$
C. $V=\frac{{2\sqrt{3}{{a}^{3}}}}{3}$
D. $V={{a}^{3}}$

Hình chóp $S.ABCD$có A’B’C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC; tỷ số thể tích của hai khối chóp SA’B’C’ và SABC là
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{{10}}$
D. $\frac{1}{8}$

Cho hình chóp SABC. M,N lần lượt là trung điểm SB,SC. Tỉ số $\displaystyle \frac{{{V}_{SAMN}}}{{{V}_{SABC}}}$là
A. $\displaystyle \frac{1}{6}$.
B. $\displaystyle \frac{1}{4}$.
C. $\displaystyle \frac{1}{8}$.
D. $\displaystyle \frac{1}{2}$.

Từ( hoặc cụm từ ) phù hợp để điền vào chỗ trống trong mệnh dề sau sao cho mệnh đề đúng “Số cạnh của một hình đa diện luôn……số đỉnh của hình đa diện ấy.” là
A. Bằng.
B. Nhỏ hơn hoặc bằng.
C. Nhỏ hơn.
D. Lớn hơn.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến