`20)`
+) Chứng minh: $AC$//$BD$ `=>CD` là đường kính
`\qquad AC`//$BD$
`=>\hat{OAC}=\hat{OBD}` (hai góc so le trong) $(1)$
Vì $OA=OC=OB=OD=R$
`=>∆OAC` cân tại $O$
`=>\hat{AOC}=180°-2\hat{OAC}` $(2)$
`\qquad ∆OBD` cân tại $O$
`=>\hat{BOD}=180°-2\hat{OBD}` $(3)$
Từ `(1);(2);(3)=>\hat{AOC}=\hat{BOD}`
Ta có: `\hat{AOB}=180°`
`=>\hat{AOC}+\hat{COB}=180°`
`=>\hat{BOD}+\hat{COB}=180°`
`=>\hat{COD}=180°`
`=>C;O;D` thẳng hàng
`=>CD` là đường kính của `(O)`
$\\$
+) Chứng minh: $CD$ là đường kính của $(O)$ thì $AC$//$BD$
Nếu $CD$ là đường kính $(O)$
`=>C;O;D` thẳng hàng
`=>\hat{AOC}=\hat{BOD}` (hai góc đối đỉnh) $(4)$
Vì $OA=OC=OB=OD=R$
`=>∆OAC` cân tại $O$
`=>\hat{OAC}={180°-\hat{AOC}}/2` $(5)$
`\qquad ∆OBD` cân tại $O$
`=>\hat{OBD}={180°-\hat{BOD}}/2` $(6)$
Từ `(4);(5);(6)=>\hat{OAC}=\hat{OBD}`
Mà `\hat{OAC};\hat{OBD}` là hai góc ở vị trí so le trong
`=>AC`//$BD$
Vậy $AC$//$BD$ khi và chỉ khi `CD` là đường kính của `(O)`
$\\$
`21)` Vẽ đường kính $AM$ của $(O)$
Gọi $H$ là giao điểm của $DE$ và $OA$
Vì $DE\perp OA$
`=>DE`$\perp OA$ tại $H$
Xét $∆ADM$ có:
`DO=OA=OM=1/2AM`
`=>∆ADM` vuông tại $D$ (∆ có trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện là ∆ vuông)
`=>AD^2=AH.AM` (hệ thức lượng) $(1)$
$\\$
Xét $∆ABM$ có:
`BO=OA=OM=1/2AM`
`=>∆ABM` vuông tại $B$
$\\$
Xét $∆AHC$ và $∆ABM$ có:
`\qquad \hat{A}` chung
`\qquad \hat{AHC}=\hat{ABM}=90°`
`=>∆AHC∽∆ABM` (g-g)
`=>{AH}/{AB}={AC}/{AM}`
`=>AB.AC=AH.AM` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>AD^2=AB.AC`
`=>AD=\sqrt{AB.AC}` $(3)$
Vì $A;B;C$ cố định nên `AB.AC` không đổi
`=>AD` không đổi $(4)$
$\\$
$OD=OE=R$ `=>∆ODE` cân tại $O$
`=>OH` vừa là đường cao và trung trực của $∆ODE$
`=>OH` là đường trung trực của $DE$
Mà `A\in OH=>AD=AE` $(5)$
Từ `(3);(4);(5)` suy ra `AD;AE` có độ dài không đổi là: `AD=AE=\sqrt{AB.AC}`
