`a)` `OC=OD=R`
`=>∆OCD` cân tại $O$
Mà `H` là trung điểm $CD$ (gt) `=>HC=HD`
`=>OH` vừa là trung tuyến và đường cao $∆OCD$
`=>OH`$\perp CD$
Vì `AP`$\perp CD$; $BQ\perp CD$ (gt)
`=>AP`//$OH$//$BQ$ và `\hat{APQ}=90°`
`=>APQB` là hình thang vuông
Mà $O$ là trung điểm $AB$
`=>H` là trung điểm $PQ$ ($OH$ là đường trung bình của hình thang $APQB$)
`=>HP=HQ`
`=>HP-HC=HQ-HD`
`=>PC=DQ` (đpcm)
$\\$
`b)` Xét $∆AMB$ có:
`\qquad MO=OA=OB=R=1/2AB`
`=>∆AMB` vuông tại $M$ (vì có trung tuyến `MO` bằng nửa cạnh đối diện)
`=>AM`$\perp BQ$ tại $M$
Mà $OH$//$BQ$ (c/m câu a)
`=>OH`$\perp AM$ (đpcm)
$\\$
`c)` Vì $OH$//$BQ$
`=>\hat{HOI}=\hat{ABM}` (hai góc đồng vị)
Xét $∆HOI$ và $∆ABM$ có:
`\qquad \hat{HOI}=\hat{ABM}`
`\qquad \hat{HIO}=\hat{AMB}=90°`
`=>∆HOI∽∆ABM` (g-g)
`=>{HI}/{AM}={OH}/{AB}`
`=>OH.AM=AB.HI` (đpcm)
$\\$
`d)` Vì $OH$ là đường trung bình hình thang $APQB$ (câu a)
`=>OH={AP+BQ}/2`
Xét tứ giác $APQM$ có:
`\qquad \hat{APQ}=\hat{PQM}=\hat{AMQ}=90°`
`=>APQM ` là hình chữ nhật
`=>AM=PQ`
$\\$
$APQB$ là hình thang vuông
`=>S_{APQB}={(AP+BQ).PQ}/2=OH.AM`
Mà `OH.AM=AB.HI` (câu c)
`=>S_{APQB}=AB.HI` $(1)$
$\\$
Vẽ $CE;DF$ vuông góc $AB$ lần lượt tại $E;F$
`=>CE`//$HI$//$DF$
`=>CDFE` là hình thang
Mà $H$ là trung điểm $CD$
`=>HI` là đường trung bình hình thang $CDFE$
`=>HI={CE+DF}/2`
$\\$
`\qquad S_{∆ABC}+S_{ABD}`
`=1/2 CE.AB+1/2 DF.AB`
`=AB. 1/ 2(CE+DF)=AB.HI` $(2)$
Từ `(1);(2)=>S_{APQB}=S_{∆ABC}+S_{∆ABD}` (đpcm)
