Ta có 0,7($2013^{2013}$ + $2017^{2017}$ ) = $\frac{7}{10}$ * ($2013^{2013}$ + $2017^{2017}$ )
= $\frac{7*(2013^{2013} + 2017^{2017} )}{10}$
Xét $2013^{2013}$ + $2017^{2017}$, có:
+) $2013^{2013}$ = $2013^{2012}$ * 2013 = $(2013^2 )^{1006}$ * 2013
Do $2013^{2}$ có chữ số tận cùng là 1 ⇒ $(2013^2 )^{1006}$ có chữ số tận cùng là 1.
Mà 2013 có chữ số tận cùng là 3
⇒ $(2013^2 )^{1006}$ * 2013 có chữ số tận cùng là 3
hay $2013^{2013}$ có chữ số tận cùng là 3 (1)
+)$2017^{2017}$ = $2017^{2016}$ * 2017 = $(2017^4 )^{504}$ * 2017
Do $2017^{4}$ có chữ số tận cùng là 1 ⇒ $(2017^4 )^{504}$ có chữ số tận cùng là 1.
Mà 2017 có chữ số tận cùng là 7
⇒ $(2017^4 )^{504}$ * 2017 có chữ số tận cùng là 7
hay $2017^{2017}$ có chữ số tận cùng là 7 (2)
Từ (1),(2) ⇒ $2013^{2013}$ + $2017^{2017}$ có chữ số tận cùng là 0 (3+7=10 có chữ số tận cùng là 0)
⇒ $2013^{2013}$ + $2017^{2017}$ chia hết cho 10
⇒ $\frac{2013^{2013} + 2017^{2017} }{10}$ là số tự nhiên
⇒$\frac{7*(2013^{2013} + 2017^{2017} )}{10}$ là số tự nhiên
hay 0,7($2013^{2013}$ + $2017^{2017}$ ) là số tự nhiên
Vậy...
