đặt đa thức trên là A,ta có :
\(A=5.7^{2\left(n+1\right)}+2^{3n}=5.49^{n+1}+8^n=5\left(41+8\right)^{n+1}+8^n\)
Áp dung công thức nhị thức Newton,ta có :
\(\left(41+8\right)^{n+1}=41^{n+1}+\left(n+1\right).41^n.8+\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}41^{n-1}.8^2+...+\left(n+1\right).41.8^n+8^{n+1}\)
vậy \(A=5\left[41^{n+1}+\left(n+1\right).41^n.8+...+\left(n+1\right).41.8^n+8^{n+1}\right]+8^n\)
\(=5\left[41^{n+1}\left(n+1\right)41^n.8+...+\left(n+1\right)41.8^n\right]+5.8^{n+1}+8^n\)
Đặt \(B=\left[41^{n+1}\left(n+1\right)41^n.8+...+\left(n+1\right)41.8^n\right]\)
ta thấy \(B⋮41\) vì các hạng tử trong ngoặc vuông đều chia hết cho 41
tiếp tục,đặt \(C=5.8^{n+1}+8^n\)
ta có : \(C=5.8^{n+1}+8^n=8^n\left(5.8+1\right)=8^n.41\) vậy \(C⋮41\)
mà A=B+C mà \(B,C⋮41\) nên => \(A⋮41\) vậy \(A⋮41\) <đpcm>
