Tìm GTNN của biểu thức P=a^3/căn(b^2+3 + b3/√căn(c^2+3) + c3/căn(a^2+3)Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức $P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}$(Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)

huynhhoangkhang1303

6 năm trước

Tìm GTNN của biểu thức P=a^3/căn(b^2+3 + b3/√căn(c^2+3) + c3/căn(a^2+3)

Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức

$P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}$ (Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)

Loga Toán lớp 9

0 lượt thích 1915 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Hoangdang16

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}$

$\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\dfrac{3a^2}{\sqrt{7}}$

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

$\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3b^2}{\sqrt{7}};\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3c^2}{\sqrt{7}}$

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

$2P+\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\dfrac{3\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{42}$

Xảy ra khi $a=b=c=\dfrac{1}{3}$

Vote (0) Phản hồi (0) 6 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Chứng minh rằng m^2/AB^2=m^2/AE^2+1/AF^2

Cho hình chữ nhật ABCD có AB=m.AD (m>0), điểm E thuộc cạnh BC, đường thẳng AE cắt DC tại F. C/m: $\frac{^{m^2}}{AB^2}=\frac{m^2}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}$

Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp, xác định tâm

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O;R). Vẽ hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. DE cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB).
a) C/m tứ giác BEDC nội tiếp, xác định tâm
b) C/m BH.DH = EH.HC
c) C/m tam giác APQ cân tại A và AP2 = AE.AB
d) Gọi S1 là diện tích tam giác APQ, S2 là diện tích tam giác ABC. Giả sử: $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{PQ}{2BC}$ . Tính BC theo R

Tìm x ∈ Z sao cho căn(x^2 + x + 3) có gí trị nguyên

Tìm x $\in Z$ sao cho $\sqrt{x^2+x+3}$ có gí trị nguyên

Tìm x biết cănx -1/cănx +1

tìm x

$\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}< \dfrac{2}{3}$

Tính (căn10+7căn2).căn(27−7căn5)

Tính :

1) $\left(\sqrt{10}+7\sqrt{2}\right).\sqrt{27-7\sqrt{5}}$

2) $\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{12}}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{6+2\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$

Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7(x − 1) + 3y = 2xy

tìm nghiệm nguyên của phương trình $7\left(x-1\right)+3y=2xy$

Tìm GTLN của L=12−x−cănx/căn(x+4)

Cho:L= $\dfrac{12-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}}$ (x $\ge$ 2;x $e$ 3)

a) Tìm GTLN

b) Tìm x sao cho cho L=2x

Rút gọn A=(2căn2−căn5+3căn2)(căn18−căn20+2căn2)

Rút gọn $A=\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{18}-\sqrt{20}+2\sqrt{2}\right)$

Tìm Ngiệm nguyên của phương trình x + y + xy = 4

tìm Ngiệm nguyên của phương trình x + y + xy = 4

Rút gọn D=căn(căn5+2)−căn(cănc5−2)/căn(căn5+1) - căn(3-2 căn2)

Rút gọn $D=\dfrac{\sqrt{\sqrt{5}+2}-\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}$