Tìm GTNN của biểu thức P=a^3/căn(b^2+3 + b3/√căn(c^2+3) + c3/căn(a^2+3)
Cho a,b,c là các số thực dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức
P=a3b2+3+b3c2+3+c3a2+3P=\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}P=b2+3a3+c2+3b3+a2+3c3(Chứng minh BĐT dựa vào BĐT Cauchy)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
a3b2+3+a3b2+3+b2+377\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}b2+3a3+b2+3a3+77b2+3
≥3a3b2+3⋅a3b2+3⋅b2+3773=3a27\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{a^3}{\sqrt{b^2+3}}\cdot\dfrac{b^2+3}{7\sqrt{7}}}=\dfrac{3a^2}{\sqrt{7}}≥33b2+3a3⋅b2+3a3⋅77b2+3=73a2
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
b3c2+3+b3c2+3+c2+377≥3b27;c3a2+3+c3a2+3+a2+377≥3c27\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{b^3}{\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{c^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3b^2}{\sqrt{7}};\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{c^3}{\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{a^2+3}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3c^2}{\sqrt{7}}c2+3b3+c2+3b3+77c2+3≥73b2;a2+3c3+a2+3c3+77a2+3≥73c2
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
2P+a2+b2+c2+977≥3(a2+b2+c2)72P+\dfrac{a^2+b^2+c^2+9}{7\sqrt{7}}\ge\dfrac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{\sqrt{7}}2P+77a2+b2+c2+9≥73(a2+b2+c2)
⇒P≥(a+b+c)23+977−3⋅(a+b+c)2372≥7212=742\Rightarrow P\ge\dfrac{\dfrac{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+9}{7\sqrt{7}}-\dfrac{3\cdot\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{\sqrt{7}}}{2}\ge\dfrac{\dfrac{\sqrt{7}}{21}}{2}=\dfrac{\sqrt{7}}{42}⇒P≥2773(a+b+c)2+9−73⋅3(a+b+c)2≥2217=427
Xảy ra khi a=b=c=13a=b=c=\dfrac{1}{3}a=b=c=31
Chứng minh rằng m^2/AB^2=m^2/AE^2+1/AF^2
Cho hình chữ nhật ABCD có AB=m.AD (m>0), điểm E thuộc cạnh BC, đường thẳng AE cắt DC tại F. C/m: m2AB2=m2AE2+1AF2\frac{^{m^2}}{AB^2}=\frac{m^2}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}AB2m2=AE2m2+AF21
Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp, xác định tâm
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O;R). Vẽ hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. DE cắt đường tròn (O) tại P và Q (P thuộc cung nhỏ AB). a) C/m tứ giác BEDC nội tiếp, xác định tâm b) C/m BH.DH = EH.HC c) C/m tam giác APQ cân tại A và AP2 = AE.AB d) Gọi S1 là diện tích tam giác APQ, S2 là diện tích tam giác ABC. Giả sử: S1S2=PQ2BC\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{PQ}{2BC}S2S1=2BCPQ. Tính BC theo R
Tìm x ∈ Z sao cho căn(x^2 + x + 3) có gí trị nguyên
Tìm x ∈Z\in Z∈Z sao cho x2+x+3\sqrt{x^2+x+3}x2+x+3 có gí trị nguyên
Tìm x biết cănx -1/cănx +1
tìm x
x−1x+1<23\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}< \dfrac{2}{3}x+1x−1<32
Tính (căn10+7căn2).căn(27−7căn5)
Tính :
1) (10+72).27−75\left(\sqrt{10}+7\sqrt{2}\right).\sqrt{27-7\sqrt{5}}(10+72).27−75
2) 15−125−2−6+263+2\dfrac{\sqrt{15}-\sqrt{12}}{\sqrt{5}-2}-\dfrac{6+2\sqrt{6}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}5−215−12−3+26+26
Tìm nghiệm nguyên của phương trình 7(x − 1) + 3y = 2xy
tìm nghiệm nguyên của phương trình 7(x−1)+3y=2xy7\left(x-1\right)+3y=2xy7(x−1)+3y=2xy
Tìm GTLN của L=12−x−cănx/căn(x+4)
Cho:L=12−x−xx+4\dfrac{12-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x+4}}x+412−x−x (x≥\ge≥2;xeee3)
a) Tìm GTLN
b) Tìm x sao cho cho L=2x
Rút gọn A=(2căn2−căn5+3căn2)(căn18−căn20+2căn2)
Rút gọn A=(22−5+32)(18−20+22)A=\left(2\sqrt{2}-\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{18}-\sqrt{20}+2\sqrt{2}\right)A=(22−5+32)(18−20+22)
Tìm Ngiệm nguyên của phương trình x + y + xy = 4
tìm Ngiệm nguyên của phương trình x + y + xy = 4
Rút gọn D=căn(căn5+2)−căn(cănc5−2)/căn(căn5+1) - căn(3-2 căn2)
Rút gọn D=5+2−5−25+1−3−22D=\dfrac{\sqrt{\sqrt{5}+2}-\sqrt{\sqrt{5}-2}}{\sqrt{\sqrt{5}+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}D=5+15+2−5−2−3−22