Đáp án đúng: D
Phương pháp giải:
- Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 3 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 3\).
- Tìm điều kiện để \(y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) và sử dụng định lí Vi-et cho phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\): \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\).
Giải chi tiết:+ Hàm số đã cho có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).
+ Ta có: \(y' = 6{x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x + 6\left( {m - 2} \right)\).
\(y' = 0 \Leftrightarrow y' = {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 2 = 0\).
+ Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn hơn 3 \( \Rightarrow y' \le 0\,\,\forall x \in \left[ {{x_1};{x_2}} \right]\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| > 3\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} > 9\end{array} \right.\,\,\,\left( I \right)\).
+ Theo định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1 - m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
\(\begin{array}{l}\left( I \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 1 - 4m + 8 > 0\\{\left( {1 - m} \right)^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 9\end{array} \right.\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 9 > 0\\{m^2} - 6m + 9 > 9\end{array} \right. \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 > 9\\\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^2} - 6m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 0\end{array} \right.\end{array}\).
Chọn D.
