Lời giải:
a)
Để pt có nghiệm \(x=2\) thì :
\(2^2-(2m+3).2+m^2+3m+2=0\)
\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m(m-1)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=0\\ m=1\end{matrix}\right.\)
Nếu \(m=0\Rightarrow x^2-3x+2=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)(x-2)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=1\\ x=2\end{matrix}\right.\) . Nghiệm còn lại là \(x=1\)
Nếu \(m=1\Rightarrow x^2-5x+6=0\Leftrightarrow (x-2)(x-3)=0\)
\(\rightarrow x=3\) là nghiệm còn lại.
b)
Ta có: \(\Delta=(2m+3)^2-4(m^2+3m+2)=1>0\) với mọi $m$ nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt (đpcm)
c) PT đã cho luôn có nghiệm với mọi $m$ thực. Khi đó:
áp dụng hệ thức Viete có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2m+3\\ x_1x_2=m^2+3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2\)
\(\Leftrightarrow 1=(2m+3)^2-2(m^2+3m+2)\)
\(\Leftrightarrow 1=2m^2+6m+5\)
\(\Leftrightarrow m^2+3m+2=0\Leftrightarrow (m+1)(m+2)=0\)
\(\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-1\\ m=-2\end{matrix}\right.\) (đều thỏa mãn)
d)
Thay $x_1=3x_2$ vào hệ thức Viete:
\(\left\{\begin{matrix} 4x_2=2m+3\\ 3x_2^2=m^2+3m+2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2m+3}{4}\right)^2=\frac{m^2+3m+2}{3}\)
\(\Leftrightarrow 4m^2+12m+5=0\) \(\Leftrightarrow (2m+1)(2m+5)=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} m=-\frac{1}{2}\\ m=\frac{-5}{2}\end{matrix}\right.\)
