Đáp án:
Nhận thất x và y phải cùng dấu
Th1 : $x,y > 0$
Ta có :
$2^x - 3^y = 1$
$ => 2^x - 1 = 2^y$
$ 3^y ≡ 0 (mod 3)$
$ => 2^x - 1 ≡ 0 (mod 3)$
mà $2 ≡ -1 (mod 3$
$ => 2^x ≡ (-1)^x (mod 3)$
$ => 2^x - 1 ≡ (-1)^x - 1 (mod 3)$
mà $2^x - 1 ≡ 0 (mod 3)$
$ => (-1)^x - 1 ≡ 0 (mod 3)$
$ => (-1)^x = 1$
$ => x chẵn$
$ => x = 2k ( k ∈ Z^+)$
Ta có :
$3^y = 2^x - 1 = 2^{2k} - 1 = 4^k - 1 = (2^k - 1)(2^k + 1)$
=> $\left \{ {{2^k - 1 = 3^m} \atop {2^k + 1 = 3^n}} \right.$ ( m,n ∈ N)
$ => 2^k + 1 - (2k - 1) = 2$
$ => 3^n - 3^m = 2$
Dễ thấy 2 không chia hết cho 3
$=> 3^n $hoặc $3^m$ không chia hết cho 3
$=> 3^m = 1$ ( Vì nếu $3^n = 1$ thì $1 - 3^m ≤ -2 < 2$ ( vô lí )
$=> m = 0 $
$=> x = 2$ và$ y = 1$
Th2 :$ x,y < 0$
Ta có :
$2^x - 3^y = 1$
$ => 2^x = 3^y + 1$
Do x < 0
$ => 2^x < 1 => 3^y + 1 < 1 => 3^y < 0$ < Vô lí >
Vậy x = 2 và y = 1
Giải thích các bước giải:
