Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:Ta có \(AB = 6\)\( \Rightarrow \) Mặt cầu \(\left( S \right)\) có bán kính \(R = 3\) và tâm \(I\left( {4;3;4} \right)\).\( \Rightarrow \) Bán kính đường tròn đáy của hình trụ là: \(r = \sqrt {{R^2} - {h^2}} = \sqrt {9 - {h^2}} \).\( \Rightarrow \) Thể tích khối trụ là: \({V_{tru}} = \pi {r^2}h = \pi h\left( {9 - {h^2}} \right) = \pi \left( { - {h^3} + 9h} \right)\).\( \Rightarrow {V_{\max }} = 6\pi \sqrt 3 \Leftrightarrow h = \sqrt 3 \).\( \Rightarrow d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \)Ta có: \(\overrightarrow {AB\,} = \left( {4;4;2} \right) = 2\left( {2;2;1} \right)\).\( \Rightarrow \)Mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vecto pháp tuyến là \(\left( {2;2;1} \right)\)\( \Rightarrow \)Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) có dạng: \(\left( P \right):2x + 2y + z + d = 0\,\, \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\c = 1\end{array} \right.\).Ta có \(\begin{array}{l}d\left( {O;\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {2.4 + 2.3 + 4 + d} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \left| {d + 18} \right| = 3\sqrt 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{d_1} = 3\sqrt 3 - 18\\{d_2} = - 3\sqrt 3 - 18\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left( { - 3\sqrt 3 - 18;3\sqrt 3 - 18} \right)\end{array}\) Vậy có 11 số nguyên thuộc \(\left( {{d_1};{d_2}} \right)\).Chọn A
