Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:
Gọi \(\Delta  \cap \left( \alpha  \right) = \left\{ H \right\}\), khi đó tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\\x + 2y - 2z - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1} = t\\\left( {1 - t} \right) + 2.2t - 2\left( { - 1 + t} \right) - 1 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{x - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1} = t\\t + 2 = 0 \Leftrightarrow t =  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y =  - 4\\z =  - 3\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {3; - 4; - 3} \right)\end{array}\)
Lấy điểm \(A\) bất kì thuộc \(\Delta \). Gọi \(d = \left( \alpha  \right) \cap \left( P \right)\).
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(A\) lên \(d\) và \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) lên \(\left( \alpha  \right)\).
Khi đó ta có \(\angle \left( {\left( P \right);\left( \alpha  \right)} \right) = \angle AKI\) và \(\sin \angle AKI = \dfrac{{AI}}{{AK}}\).
Do \(AI\) không đổi nên \(\angle AK{I_{\min }} \Leftrightarrow \sin \angle AK{I_{\min }} \Leftrightarrow {\dfrac{{AI}}{{AK}}_{\min }} \Leftrightarrow A{K_{\max }}\).
Lại có \(AK \le AH\) nên \(A{K_{\max }} = AH \Leftrightarrow K \equiv H\). Khi đó góc giữa 2 mặt phẳng nhỏ nhất khi \(d \bot \left( \Delta  \right)\).
Ta có: \(\left( \Delta  \right)\) đi qua \(A\left( {1;0; - 1} \right)\) và có vecto chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( { - 1;2;1} \right)\).
Khi đó VTCP của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_\Delta }} ,\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} } \right] = \left( {6;1;4} \right)\)
\( \Rightarrow \) VTPT của \(\left( P \right)\) là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}}  = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {7;10; - 13} \right)\)
\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng là \(\left( P \right)\) là: \(7x + 10y - 13z - 20 = 0\,\).
Đồng nhất hệ số ta có \(b = 1 - ,\,c =  - 13,\,\,d =  - 20\).
Vậy \(b + c + d = 10 - 13 - 20 =  - 23\).
Chọn B