\(\triangle AND=\triangle DCM\Rightarrow DAN=CDM\)
mà \(DAN+DNA=90^{\circ}\Rightarrow CDM+DNA=90^{\circ}\Rightarrow AN\perp DM\)
Suy ra AHMB là tứ giác nội tiếp \(AHM=ABM=90^{\circ}\)
Có ABME là hình chữ nhật
Suy ra A, B, M, H, E cùng thuộc một đường tròn
\(\Rightarrow EHB=90^{\circ}\Rightarrow EH\perp BH\)
+ \(\overrightarrow{EH}=\left ( \frac{9}{10};-\frac{7}{10} \right )\) là véc tơ pháp tuyến của BH
Phương trình đường thẳng BH là: \(\frac{9}{10}\left ( x-\frac{9}{10} \right )-\frac{7}{10}\left ( y-\frac{13}{10} \right )=0\)
\(\Leftrightarrow 9x-7y+1=0\)
+ \(B(a;b)\in BH\Leftrightarrow 9a-7b+1=0\Leftrightarrow b=\frac{9a+1}{7}\)
+ \(EH=\frac{\sqrt{130}}{10}\)
+ EAH = EBH (tính chất tứ giác nội tiếp)
\(\Rightarrow \tan EBH=\tan EAH=\frac{DN}{AD}=\frac{1}{3}\Rightarrow BH=\frac{3\sqrt{130}}{10}\)
Mà \(BH=\sqrt{\left ( \frac{9}{10}-a \right )^{2}+\left ( \frac{13}{10}-b \right )^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{9}{10}-a \right )^{2}+\left ( \frac{81-90a}{70} \right )^{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{13000a^{2}-23400a+10530}{70^{2}}}\)
Ta có phương trình: \(=\sqrt{\frac{13000a^{2}-23400a+10530}{70^{2}}}=\sqrt{\frac{1170}{100}}\)
\(\Leftrightarrow 130a^{2}-234a-468=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=3\Rightarrow b=4\\a=-\frac{78}{65}\Rightarrow b=-\frac{91}{65} \end{matrix}\)
Vậy B(3; 4) hoặc \(\left ( -\frac{78}{65};-\frac{61}{65} \right )\)
