△ A N D = △ D C M ⇒ D A N = C D M \triangle AND=\triangle DCM\Rightarrow DAN=CDM △ A N D = △ D C M ⇒ D A N = C D M
mà D A N + D N A = 9 0 ∘ ⇒ C D M + D N A = 9 0 ∘ ⇒ A N ⊥ D M DAN+DNA=90^{\circ}\Rightarrow CDM+DNA=90^{\circ}\Rightarrow AN\perp DM D A N + D N A = 9 0 ∘ ⇒ C D M + D N A = 9 0 ∘ ⇒ A N ⊥ D M
Suy ra AHMB là tứ giác nội tiếp A H M = A B M = 9 0 ∘ AHM=ABM=90^{\circ} A H M = A B M = 9 0 ∘
Có ABME là hình chữ nhật
Suy ra A, B, M, H, E cùng thuộc một đường tròn
⇒ E H B = 9 0 ∘ ⇒ E H ⊥ B H \Rightarrow EHB=90^{\circ}\Rightarrow EH\perp BH ⇒ E H B = 9 0 ∘ ⇒ E H ⊥ B H
+ E H → = ( 9 10 ; − 7 10 ) \overrightarrow{EH}=\left ( \frac{9}{10};-\frac{7}{10} \right ) E H = ( 1 0 9 ; − 1 0 7 )
Phương trình đường thẳng BH là: 9 10 ( x − 9 10 ) − 7 10 ( y − 13 10 ) = 0 \frac{9}{10}\left ( x-\frac{9}{10} \right )-\frac{7}{10}\left ( y-\frac{13}{10} \right )=0 1 0 9 ( x − 1 0 9 ) − 1 0 7 ( y − 1 0 1 3 ) = 0
⇔ 9 x − 7 y + 1 = 0 \Leftrightarrow 9x-7y+1=0 ⇔ 9 x − 7 y + 1 = 0
+ B ( a ; b ) ∈ B H ⇔ 9 a − 7 b + 1 = 0 ⇔ b = 9 a + 1 7 B(a;b)\in BH\Leftrightarrow 9a-7b+1=0\Leftrightarrow b=\frac{9a+1}{7} B ( a ; b ) ∈ B H ⇔ 9 a − 7 b + 1 = 0 ⇔ b = 7 9 a + 1
+ E H = 130 10 EH=\frac{\sqrt{130}}{10} E H = 1 0 1 3 0
+ EAH = EBH (tính chất tứ giác nội tiếp)
⇒ tan E B H = tan E A H = D N A D = 1 3 ⇒ B H = 3 130 10 \Rightarrow \tan EBH=\tan EAH=\frac{DN}{AD}=\frac{1}{3}\Rightarrow BH=\frac{3\sqrt{130}}{10} ⇒ tan E B H = tan E A H = A D D N = 3 1 ⇒ B H = 1 0 3 1 3 0
Mà B H = ( 9 10 − a ) 2 + ( 13 10 − b ) 2 = ( 9 10 − a ) 2 + ( 81 − 90 a 70 ) 2 BH=\sqrt{\left ( \frac{9}{10}-a \right )^{2}+\left ( \frac{13}{10}-b \right )^{2}}=\sqrt{\left ( \frac{9}{10}-a \right )^{2}+\left ( \frac{81-90a}{70} \right )^{2}} B H = ( 1 0 9 − a ) 2 + ( 1 0 1 3 − b ) 2 = ( 1 0 9 − a ) 2 + ( 7 0 8 1 − 9 0 a ) 2
= 13000 a 2 − 23400 a + 10530 7 0 2 =\sqrt{\frac{13000a^{2}-23400a+10530}{70^{2}}} = 7 0 2 1 3 0 0 0 a 2 − 2 3 4 0 0 a + 1 0 5 3 0
Ta có phương trình: = 13000 a 2 − 23400 a + 10530 7 0 2 = 1170 100 =\sqrt{\frac{13000a^{2}-23400a+10530}{70^{2}}}=\sqrt{\frac{1170}{100}} = 7 0 2 1 3 0 0 0 a 2 − 2 3 4 0 0 a + 1 0 5 3 0 = 1 0 0 1 1 7 0
⇔ 130 a 2 − 234 a − 468 = 0 ⇔ [ a = 3 ⇒ b = 4 a = − 78 65 ⇒ b = − 91 65 \Leftrightarrow 130a^{2}-234a-468=0\Leftrightarrow \bigg \lbrack\begin{matrix} a=3\Rightarrow b=4\\a=-\frac{78}{65}\Rightarrow b=-\frac{91}{65} \end{matrix} ⇔ 1 3 0 a 2 − 2 3 4 a − 4 6 8 = 0 ⇔ [ a = 3 ⇒ b = 4 a = − 6 5 7 8 ⇒ b = − 6 5 9 1
Vậy B(3; 4) hoặc ( − 78 65 ; − 61 65 ) \left ( -\frac{78}{65};-\frac{61}{65} \right ) ( − 6 5 7 8 ; − 6 5 6 1 )
