Lời giải:
a) Ta có:
$MA,\ MB$ lần lượt là tiếp tuyến của $(O)$ tại $A,\ B\ (gt)$
$\Rightarrow \begin{cases}OA\perp MA\\OB\perp MB\end{cases}$
$\Rightarrow \widehat{OAM} = \widehat{OBM} = 90^\circ$
$\Rightarrow \widehat{OAM} + \widehat{OBM} = 180^\circ$
Xét tứ giác $MAOB$ có:
$ \widehat{OAM} + \widehat{OBM} = 180^\circ\quad (cmt)$
Do đó $MAOB$ là tứ giác nội tiếp
b) Xét $\triangle MAC$ và $\triangle MDA$ có:
$\begin{cases}\widehat{M}:\ \text{góc chung}\\\widehat{MAC} = \widehat{MDA}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\end{cases}$
Do đó: $\triangle MAC\backsim \triangle MDA\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{MA}{MD} = \dfrac{MC}{MA}$
$\Rightarrow MA.MA = MC.MD$
Ta lại có: $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó ta được: $MA.MB = MC.MD$
c) Gọi $F$ là trung điểm $CD$
$\Rightarrow OF\perp CD$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)
$\Rightarrow \widehat{OFM} = \widehat{OAM} = 90^\circ$
$\Rightarrow OFAM$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{MFA} = \widehat{MOA}$
Xét $\triangle AFC$ và $\triangle KOE$ có:
$\begin{cases}\widehat{AFC} = \widehat{KEO}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AD}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\\\widehat{AFC} = \widehat{KOE}\quad (=\widehat{MOA})\end{cases}$
Do đó: $\triangle AFC\backsim\triangle KOE\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AF}{OK} = \dfrac{FC}{OE}\qquad (1)$
Xét $\triangle AFD$ và $\triangle HOE$ có:
$\begin{cases}\widehat{ADF} = \widehat{OEH}\quad \text{(cùng chắn $\mathop{AC}\limits^{\displaystyle\frown}$)}\\\widehat{FAD} = \widehat{OHE}\quad (\widehat{ADF} = \widehat{OEH}; \widehat{MFA} = \widehat{MOA})\end{cases}$
Do đó: $\triangle AFD\backsim \triangle HOE\ (g.g)$
$\Rightarrow \dfrac{AF}{OH} = \dfrac{FD}{OE}\qquad (2)$
Ta lại có: $FC = FD = \dfrac12CD\qquad (3)$ (mối quan hệ đường kính - dây cung)
Từ $(1)(2)(3)\Rightarrow OH = OK$
