Đáp án đúng: A

Phương pháp giải:

Giả sử \(\Delta ABC\) có phương trình của các cạnh là: 
\(AB:{\rm{ }}4x - 3y - 65 = 0\)
\(BC:{\rm{ }}7x - 24y + 55 = 0\)
\(CA:{\rm{ }}3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\)
\( \Rightarrow \) Tọa độ ba điểm \(A,\,\,B,\,\,C\).
Áp dụng: Khoảng cách từ tâm \(I\) đến các cạnh của tam giác \(ABC\) đều bằng nhau và bằng bán kính.Giải chi tiết:Giả sử \(\Delta ABC\) có phương trình của các cạnh là: 
\(AB:{\rm{ }}4x - 3y - 65 = 0\)
\(BC:{\rm{ }}7x - 24y + 55 = 0\)
\(CA:{\rm{ }}3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\)
Ta có : \(AB \cap AC = \left\{ A \right\} \Leftrightarrow \) Điểm \(A\) thỏa mãn hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 65 = 0\\3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11\\y =  - 7\end{array} \right.\)
\(AB \cap BC = \left\{ B \right\} \Leftrightarrow \) Điểm \(B\) thỏa mãn hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}4x - 3y - 65 = 0\\7x - 24y + 55 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 23\\y = 9\end{array} \right.\)
\(CA \cap BC = \left\{ C \right\} \Leftrightarrow \) Điểm \(C\) thỏa mãn hệ phương trình :
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + {\rm{ }}4y--5 = 0\\7x - 24y + 55 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1\\y = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow A\left( {11; - 7} \right);\)\(B\left( {23;\,\,9} \right);{\rm{ }}C\left( { - 1;\,\,2} \right)\)
\(\begin{array}{l}\; \Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( {23 - 11} \right)}^2} + {{\left( {9 + 7} \right)}^2}}  = 20\\\,\,\,\,\,\,BC = \sqrt {{{\left( { - 1 - 23} \right)}^2} + {{\left( {2 - 9} \right)}^2}}  = 25\\\,\,\,\,\,\,CA = \sqrt {{{\left( {11 + 1} \right)}^2} + {{\left( { - 7 - 2} \right)}^2}}  = 15\end{array}\)
Xét tam giác \(ABC\) có:
\(\left. \begin{array}{l}C{A^2} + A{B^2} = {15^2} + {20^2} = 625\\B{C^2} = {25^2} = 625\end{array} \right\}\) \( \Rightarrow C{A^2} + A{B^2} = B{C^2}\)
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\)(định lý Py – ta – go đảo)
\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC\)\( = \dfrac{1}{2}15.20 = 150\)
\(\,{r_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{S_{\Delta ABC}}}}{{{p_{\Delta ABC}}}}\)\( = \dfrac{{150}}{{\dfrac{{15 + 20 + 25}}{2}}}\)\( = \dfrac{{150}}{{30}} = 5\)
Gọi tâm đường tròn nội tiếp \(\Delta ABC\) là \(I\left( {x;\,\,y} \right)\)
Þ Khoảng cách từ tâm \(I\left( {x;\,\,y} \right)\) đến đường thẳng đã cho đều bằng r = 5 nên ta có:
\(5 = \dfrac{{\left| {4x - 3y - 65} \right|}}{5}\)\( = \dfrac{{\left| {7x - 24y + 5} \right|}}{{25}} = \dfrac{{\left| {3x + 4y - 5} \right|}}{5}\)
\( \Rightarrow \) Ta tìm được \(I\left( {10;\,\,0} \right)\).
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 10} \right)^2} + {y^2} = 25\;\).
Chọn A.