Bảo toàn năng lượng trong sự phóng xạ

BẢO TOÀN NĂNG LƯỢNG TRONG SỰ PHÓNG XẠ    

A)Lý Thuyết:

Xét một hạt nhân X tự vỡ thành hai hạt X$_{1}$ và X$_{2}$ theo phản ứng:

                                 X $\to $ X$_{1}$ + X$_{2}$

$*$ Định luật bảo toàn động lượng: $\overrightarrow{0}=\overrightarrow{{{P}_{1}}}+\overrightarrow{{{P}_{2}}}$ (Xét trong Hqc gắn với X nên $\overrightarrow{{{P}_{X}}}=\overrightarrow{0}$ )

$\to $ $\overrightarrow{{{P}_{1}}}=-\overrightarrow{{{P}_{2}}}$ hai hạt bay ngược hướng.

$\to {{m}_{1}}{{v}_{1}}={{m}_{2}}{{v}_{2}}\to {{v}_{2}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}.{{v}_{1}}$ (1)

Đồng thời ta có: $P_{1}^{2}=P_{2}^{2}$ . Áp dụng : ${{P}^{2}}=2mK$

$\to 2{{m}_{1}}{{K}_{1}}=2{{m}_{2}}{{K}_{2}}$ $\to $ $\frac{{{K}_{2}}}{{{K}_{1}}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}$ (2)

$*$  Định luật bảo toàn năng lượng toàn phần:

${{K}_{X}}+\Delta E={{K}_{1}}+{{K}_{2}}$ (${{K}_{X}}=0$)

$\to \Delta E={{K}_{1}}+{{K}_{2}}$ (3)

Trong đó: $\Delta E=\left[ {{m}_{X}}-({{m}_{1}}+{{m}_{2}}) \right].{{c}^{2}}$

Nhận xét: Hai hạt sinh ra chuyển động theo hai hướng ngược nhau, có tốc độ và động năng tỉ lệ nghịch với khối lượng. Nếu bỏ qua bức xạ gamma thì năng lượng tỏa ra chuyển hết thành động năng của các hạt tạo thành.

$\centerdot $ Nếu năng lượng do 1 phân rã tạo ra là $\Delta E$ thì năng lượng do N phân rã tạo thành là:    Q = N.$\Delta $E

$\centerdot $ Trong phóng xạ $\alpha $ nếu viết phương trình phóng xạ A$\to $ B + $\alpha $ thì động năng của hạt $\alpha $ là:

                                           \[{{\text{W}}_{\alpha }}=\frac{{{m}_{B}}}{{{m}_{B}}+{{m}_{\alpha }}}\Delta E\]  

Thực tế đo được động năng của hạt $\alpha $ là \[\text{W}_{\alpha }^{'}<{{\text{W}}_{\alpha }}\] vì phóng xạ $\alpha $ trong thực tế còn kèm theo tia $\gamma $ do đó năng lượng của bức xạ $\gamma $ là:

                                        $\varepsilon ={{\text{W}}_{\alpha }}-\text{W}_{\alpha }^{'}=hf=\frac{hc}{\lambda }$

B)Ví dụ minh họa:

Hướng dẫn:

Phương trình phân rã: $_{88}^{226}R\to \alpha +_{86}^{222}X$

Ta có: $\frac{{{K}_{\alpha }}}{{{K}_{X}}}=\frac{{{m}_{X}}}{{{m}_{\alpha }}}=\frac{222}{4}\to {{K}_{X}}=\frac{16}{185}$(MeV)

\[\to E={{K}_{\alpha }}+{{K}_{X}}=4,886\](MeV)

$\Rightarrow $ Chọn đáp án A.

Hướng dẫn:

+Phản ứng hạt nhân: $^{210}Po\to \alpha {{+}^{206}}Pb$

+Theo định luật bảo toàn động lượng ta có:

$\overrightarrow{{{P}_{Po}}}=\overrightarrow{{{P}_{\alpha }}}+\overrightarrow{{{P}_{Pb}}}\to 0=\overrightarrow{{{P}_{\alpha }}}+\overrightarrow{{{P}_{Pb}}}$

$\to \overrightarrow{{{P}_{\alpha }}}=-\overrightarrow{{{P}_{Pb}}}\to {{(\overrightarrow{{{P}_{\alpha }}})}^{2}}={{(-\overrightarrow{{{P}_{Pb}}})}^{2}}$ (1)

$\to {{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}={{m}_{Pb}}{{K}_{Pb}}\to {{K}_{Pb}}=\frac{{{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}}{{{m}_{Pb}}}$

+Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: W = ${{K}_{\alpha }}+{{K}_{Pb}}$ (2)

+Từ (1) và (2) ta có: W = ${{K}_{\alpha }}\left( 1+\frac{{{m}_{\alpha }}}{{{m}_{Pb}}} \right)$

+Phần tram của năng lượng tỏa ra chuyển thành động năng hạt $\alpha $

%W$_{d\alpha }$ = $\frac{{{K}_{\alpha }}}{\text{W}}$.100% = $\frac{{{K}_{\alpha }}}{{{K}_{\alpha }}\left( 1+\frac{{{m}_{\alpha }}}{{{m}_{Pb}}} \right)}$.100% = 98,1%

$\Rightarrow $ Chọn đáp án B.

Hướng dẫn:

+Theo đề bài ta có : $_{90}^{230}Th\to _{88}^{226}Ra+_{2}^{4}He+4,91MeV$

+Hạt nhân X là hạt nhân heli có cấu tạo gồm 4 nuclon, trong đó có 2 prôtôn và 2 nơtron.

+ĐLBT động lượng:

$\overrightarrow{{{P}_{Ra}}}+\overrightarrow{{{P}_{He}}}=0\to {{P}_{Ra}}={{P}_{He}}\to 2{{m}_{Ra}}.{{K}_{Ra}}=2{{m}_{\alpha }}.{{K}_{\alpha }}$

$\to {{K}_{\alpha }}=\frac{{{m}_{Ra}}.{{K}_{Ra}}}{{{m}_{\alpha }}}$

+Theo định luật bảo toàn năng lượng:

W = ${{K}_{Ra}}+{{K}_{\alpha }}$ = $\left( 1+\frac{{{m}_{Ra}}}{{{m}_{\alpha }}} \right){{K}_{Ra}}$

$\to {{K}_{Ra}}=\frac{\text{W}}{1+\frac{{{m}_{Ra}}}{{{m}_{\alpha }}}}$ = 0,0854 (MeV)

$\Rightarrow $ Chọn đáp án A.

Hướng dẫn:

$_{84}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +_{82}^{206}X$

${{K}_{\alpha }}+{{K}_{X}}=({{m}_{Po}}-{{m}_{\alpha }}-{{m}_{X}}){{c}^{2}}=2,625$(MeV)  (1)

0 =$\overrightarrow{{{p}_{\alpha }}}+\overrightarrow{{{p}_{X}}}\to {{\left( \overrightarrow{{{p}_{\alpha }}} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{{{p}_{X}}} \right)}^{2}}$

$\to 2{{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}=2{{m}_{X}}{{K}_{X}}\to {{K}_{\alpha }}=\frac{{{m}_{X}}{{K}_{X}}}{{{m}_{\alpha }}}$ (2)

Từ (1) và (2) $\to \left( \frac{{{m}_{X}}}{{{m}_{\alpha }}}+1 \right){{\text{W}}_{dX}}=14,1588$

$\to {{K}_{X}}\approx 0,050$MeV; ${{K}_{\alpha }}\approx 2,575$MeV

$\Rightarrow $ Chọn đáp án C.

Hướng dẫn:

$_{84}^{210}Po\to _{2}^{4}\alpha +_{82}^{206}X$

${{K}_{\alpha }}+{{K}_{X}}=({{m}_{Po}}-{{m}_{\alpha }}-{{m}_{X}}){{c}^{2}}$= 6,42(MeV) (1)

0 = $\overrightarrow{{{p}_{\alpha }}}+\overrightarrow{{{p}_{X}}}$ $\to {{\left( \overrightarrow{{{p}_{\alpha }}} \right)}^{2}}={{\left( \overrightarrow{{{p}_{X}}} \right)}^{2}}$

$\to 2{{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}=2{{m}_{X}}{{K}_{X}}\to {{K}_{\alpha }}=\frac{{{m}_{X}}{{K}_{X}}}{{{m}_{\alpha }}}=21,5{{K}_{X}}$ (2)

Từ (1) và (2) $\to $ K$_{\alpha }$= 6,3 (MeV)

$\Rightarrow $ Chọn đáp án D.   

Hướng dẫn:

W$_{\alpha }$ = $\frac{{{m}_{Th}}}{{{m}_{Th}}+{{m}_{\alpha }}}\Delta E$ = $\frac{229,9737}{229,9737+4,0015}.2,{{2.10}^{-12}}$ = 2,1624.10$^{-12}$J

$\to {{v}_{\alpha }}=\sqrt{\frac{2{{W}_{\alpha }}}{{{m}_{\alpha }}}}=0,{{255.10}^{8}}$ m/s

$\Rightarrow $ Chọn đáp án A.

Hướng dẫn:

$\Delta E=({{m}_{Po}}-{{m}_{\alpha }}-{{m}_{X}}){{c}^{2}}=5,92$(MeV)

$\Rightarrow $ Chọn đáp án A.

C)Bài Tập Tự Luyện:

Bài 1: Hạt nhân phóng xạ $_{92}^{234}U$ đứng yên, phóng ra một hạt $\alpha $ và biến thiên thành hạt nhân thori(Th). Động năng của hạt $\alpha $ chiếm bao nhiêu phần trăm năng lượng phân rã?

A.81,6%                             B.18,4%                          C.98,3%                             D.1,7%

Bài 2: Một hạt nhân X, ban đầu đứng yên, phóng xạ và biến thành hạt nhân Y. Biết hạt nhân X có số khối là A, hạt $\alpha $ phát ra tốc độ v. Lấy khối lượng của hạt nhân bằng số khối của nó tính theo đơn vị u. Tốc độ của hạt nhân Y bằng?

A.$\frac{4v}{A+4}$                              B.$\frac{2v}{A-4}$                            C.$\frac{4v}{A-4}$                               D.$\frac{2v}{A+4}$

Bài 3: Hạt nhân $^{234}Po$ đứng yên phóng xạ hạt $\alpha $ và biến thành hạt nhân con X. Biết khối lượng các hạt nhân lần lượt là m$_{U}$=233,9904u; m$_{X}$=229,9737u; m$_{\alpha }$=4,0015u và u.c$^{2}$=931,5MeV. Động năng của hạt $\alpha $ và X là?

A.K$_{\alpha }$=1,65MeV; K$_{X}$=1,65MeV                                      B.K$_{\alpha }$=12,51MeV; K$_{X}$=1,65MeV

C.K$_{\alpha }$=13,92MeV; K$_{X}$=0,24MeV                                     D.K$_{\alpha }$=0,24MeV; K$_{X}$ =13,92MeV   

Bài 4: Một hạt nhân X đứng yên, phóng xạ $\alpha $ và biến thành hạt nhân Y. Gọi m1 và m2, K1 và K2 tương ứng là khối lượng, tốc độ, động năng của hạt $\alpha $ và hạt nhân Y. Hệ thức nào sau đây là đúng?

A.$\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{{{m}_{1}}}{{{m}_{2}}}=\frac{{{K}_{1}}}{{{K}_{2}}}$                                                                   B.$\frac{{{v}_{2}}}{{{v}_{1}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\frac{{{K}_{2}}}{{{K}_{1}}}$

C.$\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\frac{{{K}_{1}}}{{{K}_{2}}}$                                                                   D.$\frac{{{v}_{1}}}{{{v}_{2}}}=\frac{{{m}_{2}}}{{{m}_{1}}}=\frac{{{K}_{2}}}{{{K}_{1}}}$

Bài 5: Hạt nhân $_{94}^{238}Pu$ phân rã phóng xạ $\alpha $ biến thành $_{92}^{234}U$. Cho m$_{U}$=233,9904u;     m$_{\alpha }$=4,0015u. Hạt $\alpha $ có động năng cực đại W$_{\alpha \max }$=5,49MeV. Trong thực tế người ta thu được một số hạt $\alpha $ có động năng nhỏ hơn động năng cực đại trên. Biết rằng trong sự phân rã nói trên có phát ra tia gamma với bước sóng 0,3 $\overset{0}{\mathop{A}}\,$. Động năng của hạt $\alpha $ khi đó là:

A.5,75MeV                        B.5,45MeV                     C.4,85MeV                       D.4,54MeV

Bài 6: Hạt nhân $_{92}^{234}U$ phóng xạ $\alpha $. Ngay sau khi được sinh ra hạt $\alpha $ bay vào trong một từ trường đều có cảm ứng từ B=0,5T theo phương vuông góc với các đường sức từ. Biết khối lượng của các hạt m$_{U}$=233,9904u; m$_{Th}$=229,9737u; m$_{\alpha }$=4,0015u; 1u=1,66055.10$^{-27}$kg = 931,5MeV/c$^{2}$. Phát biểu nào dưới đây đúng khi nói về chuyển động của hạt $\alpha $ trong từ trường: Hạt $\alpha $ chuyển động

A.thẳng đều với vận tốc v = 2,593.10$^{7}$ m/s.

B.tròn đều với bán kính quỹ đạo R = 1,077m.

C.tròn đều với bán kính quỹ đạo R = 0,54m.

D.nhanh dần đều với tốc độ ban đầu v = 2,593.10$^{7}$ m/s.

Bài 7: Ban đầu hạt nhân $^{210}Po$ đứng yên phóng xạ $\alpha $ theo phản ứng: $^{210}Po\to \alpha +X$

Cho khối lượng của các hạt m$_{\alpha }$=4,0015u; m$_{Po}$=209,9828u; m$_{X}$=205,9744u. Biết năng lượng tỏa ra trong phản ứng chuyển hết thành động năng của các hạt tạo thành. Động năng của hạt X là:

A.1,95.10$^{-14}$J                 B.1,96.10$^{-14}$J                  C.1,94.10$^{-14}$J                    D.1,97.10$^{-14}$J 

Bài 8: Pôlôni $_{84}^{210}Po$ phóng xạ $\alpha $ và biến đổi thành chì Pb. Mỗi phân rã tỏa ra 6,3MeV. Biết số Avôgađrô 6,02.10$^{23}$/mol, khối lượng mol của $_{84}^{210}Po$ là 210g/mol, 1MeV= 1,6.10$^{-13}$J. Ban đầu có 1g nguyên chất, sau khi phân rã hết năng lượng tỏa ra là:

A.1,81.10$^{21}$MeV             B.28,896.10$^{9}$J              C.28,896.10$^{8}$J              D.1,81.10$^{20}$MeV

Bài 9: Hạt nhân $^{226}Ra$ đứng yên phóng ra một hạt $\alpha $ và biến đổi thành hạt nhân X. Tốc độ của hạt $\alpha $ phóng ra bằng 1,51.10$^{7}$m/s. Coi tỉ lệ khối lượng xấp xỉ bằng tỉ số của số khối. Biết số Avôgađrô là 6,02.10$^{23}$/mol, khối lượng mol của $^{226}Ra$ là 226 g/mol và khối lượng của hạt $\alpha $ là 4,0015u, 1u=1,66.10$^{-27}$kg. Khi phân rã hết 0,1$\mu $g $^{226}Ra$ nguyên chất năng lượng tỏa ra là:

A.100J                             B.87J                               C.205J                          D.120J

Bài 10: Hạt nhân $^{226}Ra$ đứng yên phóng xạ ra hạt $\alpha $ theo phương trình: $^{226}Ra\to \alpha {{+}^{222}}Rn$. Cho biết tỉ lệ khối lượng của hạt nhân Rn và hạt $\alpha $ là 55,47. Biết năng lượng tỏa ra trong phản ứng chuyển hết thành động năng của các hạt tạo thành. Hỏi bao nhiêu % năng lượng tỏa ra chuyển thành động năng của hạt $\alpha $.

A.98,23%                       B.98,22%                       C.98,24%                         D.98,25%

Đáp án:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
C	C	D	C	B	B	B	C	C	A

Bài viết gợi ý: