Bài Toán Động Năng, Vận Tốc Trong Phản Ứng Hạt Nhân

BÀI TOÁN ĐỘNG NĂNG, VẬN TỐC TRONG PHẢN ỨNG HẠT NHÂN

A)Lí Thyết:

$\bullet $ Dùng định luật bảo toàn năng lượng toàn phần:

+Tổng năng lượng toàn phần của các hạt tượng tác bằng tổng năng lượng toàn phần của các hạt sản phẩm.

${{K}_{1}}+{{m}_{1}}{{c}^{2}}+{{K}_{2}}+{{m}_{2}}{{c}^{2}}={{K}_{3}}+{{m}_{3}}{{c}^{2}}+{{K}_{4}}+{{m}_{4}}{{c}^{2}}$

Với: K là động năng của các hạt: ${{p}^{2}}=2mK$ (p là động lượng).

$\bullet $ Kết hợp định luật bảo toàn động lượng:

+Tổng vecto động lượng của các hạt tương tác bằng tổng vecto động lượng của các hạt sản phẩm.

                                                   $\overrightarrow{{{p}_{A}}}+\overrightarrow{{{p}_{B}}}=\overrightarrow{{{p}_{C}}}+\overrightarrow{{{p}_{D}}}$

+Xét với hạt B đứng yên: $\overrightarrow{{{v}_{B}}}=0\to \overrightarrow{{{p}_{B}}}=0$ Khi đó $\overrightarrow{{{p}_{A}}}=\overrightarrow{{{p}_{C}}}+\overrightarrow{{{p}_{D}}}$

     Nếu cho $\alpha $ là góc hợp bởi giữa $\widehat{\overrightarrow{{{p}_{C}}};\overrightarrow{{{p}_{D}}}}$ hoặc giữa $\widehat{\overrightarrow{{{v}_{C}}};\overrightarrow{{{v}_{D}}}}$

     Độ lớn: $p_{A}^{2}=p_{C}^{2}+p_{D}^{2}+2{{p}_{C}}{{p}_{D}}\cos \alpha $

$*$ $\alpha ={{0}^{0}}\to {{p}_{C}};{{p}_{D}}$cùng phương, cùng chiều $\overrightarrow{{{p}_{C}}}\uparrow \uparrow \overrightarrow{{{p}_{D}}}\to \cos \alpha =1\to {{p}_{A}}={{p}_{C}}+{{p}_{D}}$

$*$ $\alpha ={{180}^{0}}\to {{p}_{C}};{{p}_{D}}$ cùng phương, ngược chiều $\overrightarrow{{{p}_{C}}}\uparrow \downarrow \overrightarrow{{{p}_{D}}}\to \cos \alpha =-1\to {{p}_{A}}={{p}_{C}}-{{p}_{D}}$

$*$ $\alpha ={{90}^{0}}\to {{p}_{C}}$ ;${{p}_{D}}$ vuông góc $\overrightarrow{{{p}_{C}}}\bot \overrightarrow{{{p}_{D}}}\to \cos \alpha =0\to p_{A}^{2}=p_{C}^{2}+p_{D}^{2}$

$*$ ${{p}_{C}}={{p}_{D}}\to {{p}_{A}}=2{{p}_{C}}\cos (\alpha /2)$

Từ đó suy ra đại lượng cần tìm ví dụ góc hợp bởi chiều chuyển động của các hạt so với một phương nào đó…

B)Ví Dụ Minh Họa:

Hướng dẫn:

Ta có phương trình phản ứng: $_{1}^{1}H+_{3}^{7}Li\to 2_{2}^{4}X$

Độ hụt khối của các hạt nhân:

$\Delta {{m}_{X}}=2{{m}_{P}}+2{{m}_{n}}-{{m}_{X}}$ với $\Delta {{m}_{X}}=\frac{28,3}{931,5}=0,0304u$

$\Delta {{m}_{Li}}=3{{m}_{P}}+4{{m}_{n}}-{{m}_{Li}}$

Độ hụt khối của phản ứng:

$\Delta m=2{{m}_{X}}-({{m}_{Li}}+{{m}_{P}})=\Delta {{m}_{Li}}-2\Delta {{m}_{X}}=-0,0187u<0$

$\to $ phản ứng tỏa năng lượng.

Năng lượng của phản ứng: $\Delta $E= 0,0187.931,5MeV = 17,42MeV

Áp dụng định luật bảo toàn năng lượng toàn phần ta có:

$2{{\text{W}}_{\text{dX}}}=\Delta E+{{K}_{P}}$=19,42MeV $\to {{\text{W}}_{dX}}=\frac{m{{v}^{2}}}{2}=9,71$MeV

Vận tốc của hạt X: v = 3.10$^{8}$.0,072 = 2,16.10$^{7}$m/s

$\Rightarrow $ Chọn đáp án C.

Hướng dẫn:

Phản ứng thu năng lượng $\Delta $E=1,21MeV

Theo định luật bảo toàn động lượng ta có:

${{m}_{\alpha }}.{{v}_{\alpha }}=({{m}_{H}}+{{m}_{O}})v$ (với v là vận tốc của hai hạt sau phản ứng)

$\to $v=$\frac{{{m}_{\alpha }}{{v}_{\alpha }}}{{{m}_{H}}+{{m}_{O}}}=\frac{2}{9}{{v}_{\alpha }}$

Động năng của hạt $\alpha $: ${{K}_{\alpha }}=\frac{{{m}_{\alpha }}v_{\alpha }^{2}}{2}=2v_{\alpha }^{2}$

$\to {{K}_{H}}+{{K}_{O}}=\frac{({{m}_{H}}+{{m}_{O}}){{v}^{2}}}{2}=\frac{4}{9}v_{\alpha }^{2}=\frac{2}{9}{{K}_{\alpha }}$

$\to {{K}_{\alpha }}={{K}_{H}}+{{K}_{O}}+\Delta E\to \Delta E={{K}_{\alpha }}-\frac{2}{9}{{K}_{\alpha }}=\frac{7}{9}{{K}_{\alpha }}$

$\to {{K}_{\alpha }}=\frac{9}{7}\Delta E=1,56MeV$

$\Rightarrow $ Chọn đáp án D.

Hướng dẫn:

Phương trình phản ứng: $_{1}^{1}p+_{11}^{23}Na\to _{2}^{4}\alpha +_{10}^{20}X$

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng ta có:

$\overrightarrow{{{p}_{p}}}=\overrightarrow{{{p}_{\alpha }}}+\overrightarrow{{{p}_{X}}}\to p_{p}^{2}=p_{\alpha }^{2}+p_{X}^{2}+2{{p}_{p}}\cos (\varphi )$

Ta lại có: ${{p}^{2}}=2mK$ nên:

cos$\varphi $ = -0,9859 $\to $ $\varphi $= 170$^{0}$

$\Rightarrow $ Chọn đáp án A.

Hướng dẫn:

Động năng của proton:

${{K}_{P}}=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}m{{c}^{2}}{{\left( \frac{v}{c} \right)}^{2}}$ = 4,6575MeV

Theo bảo toàn động lượng:

$\overrightarrow{{{p}_{p}}}=\overrightarrow{{{p}_{\alpha 1}}}+\overrightarrow{{{p}_{\alpha 2}}}\to {{K}_{p}}={{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}+{{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}+2{{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}\cos {{160}^{0}}$

$\to {{K}_{\alpha }}$= 9,653MeV

Năng lượng tỏa ra là: $\Delta E=2{{K}_{\alpha }}-{{K}_{p}}$= 14,6MeV

$\Rightarrow $ Chọn đáp án B.

Hướng dẫn:

Phương trình phản ứng: $_{1}^{1}p+_{4}^{9}Be\to _{2}^{4}He+_{3}^{6}Li$

Theo đề bài: K$_{p}$=5,45MeV; K$_{He}$=4MeV

Định luật bảo toàn năng lượng:

$\Delta E+{{K}_{P}}+{{K}_{Be}}={{K}_{He}}+{{K}_{Li}}$ với ${{K}_{Be}}=0$

$\to \Delta E={{K}_{Li}}-1,45$ (1)

Định luật bảo toàn động lượng: $\overrightarrow{{{p}_{p}}}=\overrightarrow{{{p}_{He}}}+\overrightarrow{{{p}_{Li}}}$ với P$_{Be}$=0

Do vận tốc của proton và vận tốc hạt $\alpha $ vuông góc với nhau nên $\overrightarrow{{{p}_{P}}}\bot \overrightarrow{{{p}_{He}}}\to \beta ={{90}^{0}}$

Thay ${{p}^{2}}={{m}^{2}}{{v}^{2}}=2m.K$ ta được:

${{m}_{Li}}{{K}_{Li}}={{m}_{P}}{{K}_{P}}+{{m}_{He}}{{K}_{He}}$

$\to 6{{K}_{Li}}={{K}_{P}}+4{{K}_{He}}\to {{K}_{Li}}=3,575MeV$

Thay vào (1) ta được:

$\Delta $E=2,125MeV >0 phản ứng tỏa năng lượng.

$\Rightarrow $ Chọn đáp án D.

Hướng dẫn:

$_{84}^{210}Po\to _{2}^{4}He+_{82}^{206}Pb$

Áp dụng định luật bảo toàn động lượng:

$\overrightarrow{{{p}_{\alpha }}}+\overrightarrow{{{p}_{Pb}}}=\overrightarrow{{{p}_{Po}}}=\overrightarrow{0}\to {{p}_{\alpha }}={{p}_{Pb}}$

$\to {{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}={{m}_{Pb}}{{K}_{Pb}}\to {{K}_{\alpha }}=51,5{{K}_{Pb}}$

$\Rightarrow $ Chọn đáp án A.

Hướng dẫn:

+ Áp dụng định luật BT động lượng: $\overrightarrow{{{p}_{P}}}=\overrightarrow{{{p}_{Li}}}+\overrightarrow{{{p}_{X}}}$ với $(\overrightarrow{{{p}_{X}}}\bot \overrightarrow{{{p}_{p}}})\to p_{Li}^{2}=p_{X}^{2}+p_{P}^{2}$

$\to {{m}_{Li}}{{K}_{Li}}={{m}_{X}}{{K}_{X}}+{{m}_{P}}{{K}_{P}}\to {{K}_{Li}}=\frac{{{m}_{X}}{{K}_{X}}+{{m}_{P}}{{K}_{P}}}{{{m}_{Li}}}$

$\to {{K}_{Li}}=3,58MeV=5,{{728.10}^{-13}}J$

+Với m$_{Li}$= 6u = 6.1,66055.10$^{-27}$kg$\to {{v}_{Li}}=\sqrt{\frac{2{{K}_{Li}}}{{{m}_{Li}}}}=10,{{7.10}^{6}}$m/s

$\Rightarrow $ Chọn đáp án C.

Hướng dẫn:

+Phương trình phản ứng hạt nhân đó là: $_{1}^{1}H+_{3}^{7}Li\to 2._{2}^{4}He$

Theo định luật bảo toàn động lượng ta có: $\overrightarrow{{{p}_{P}}}=\overrightarrow{{{p}_{1}}}+\overrightarrow{{{p}_{2}}}$

Vì hai hạt sinh ra giống nhau có cùng vận tốc, bay theo hướng hợp với nhau một góc bằng 120$^{0}$ nên động lượng của hai hạt có độ lớn bằng nhau và cũng hợp với nhau một góc 120$^{0}$.

Từ đó suy ra: ${{p}_{P}}={{p}_{1}}={{p}_{2}}\to {{m}_{P}}.{{v}_{P}}={{m}_{\alpha }}.{{v}_{\alpha }}\to \frac{{{v}_{P}}}{{{v}_{\alpha }}}=\frac{{{m}_{\alpha }}}{{{m}_{P}}}=4$

$\Rightarrow $ Chọn đáp án A.

Hướng dẫn:

Năng lượng phản ứng thu: $\Delta E=({{m}_{\alpha }}+{{m}_{Al}}-{{m}_{P}}-{{m}_{n}})u{{c}^{2}}=-0,00287u{{c}^{2}}=-2,672MeV$

${{K}_{P}}+{{K}_{n}}={{K}_{\alpha }}+\Delta E=0,428MeV$ ; ${{K}_{P}}=\frac{{{m}_{P}}v_{P}^{2}}{2}$   mà ${{v}_{P}}={{v}_{n}}$

$\to \frac{{{K}_{n}}}{{{K}_{P}}}=\frac{{{m}_{n}}}{{{m}_{P}}}=\frac{1}{30}\to \frac{{{K}_{n}}}{{{K}_{n}}+{{K}_{P}}}=\frac{1}{1+30}$

$\to {{K}_{n}}=\frac{{{K}_{n}}+{{K}_{P}}}{31}=\frac{0,428}{31}=0,0138MeV$

$\Rightarrow $ Chọn đáp án D.

Hướng dẫn:

Theo ĐL bảo toàn động lượng $\overrightarrow{{{p}_{P}}}=\overrightarrow{{{p}_{\alpha 1}}}+\overrightarrow{{{p}_{\alpha 2}}}$ ; p$^{2}$=2mK

$\cos \frac{\varphi }{2}=\frac{{{P}_{P}}}{2{{P}_{\alpha }}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2{{m}_{P}}{{K}_{P}}}{2{{m}_{\alpha }}{{K}_{\alpha }}}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1{{K}_{P}}}{4{{K}_{\alpha }}}}$

${{K}_{P}}=2{{K}_{\alpha }}+\Delta E\to {{K}_{P}}-\Delta E=2{{K}_{\alpha }}\to {{K}_{P}}>2{{K}_{\alpha }}$

$\to \cos \frac{\varphi }{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}\to \frac{\varphi }{2}>69,{{3}^{0}}$ hay $\varphi >138,{{6}^{0}}$

$\Rightarrow $ Chọn đáp án C.

 

Bài viết gợi ý: