CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ
TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
A. Lý thuyết
I. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:
Xét phương trình bậc hai: \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( * \right)\text{ ,}\left( a\ne 0 \right),\Delta ={{b}^{2}}-4ac\].
Gọi \[S\], \[P\] lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\].
Hệ thức Viét: .
- Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow P<0\].
- Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt cùng dấu .
- Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt dương .
- Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt âm
II. Các hệ thức thường gặp
- \[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{S}^{2}}-2P\].
- \[{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}\].
- \[{{x}_{2}}-{{x}_{1}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}\].
- \[{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\pm \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}\].
- \[{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=S.\left( {{S}^{2}}-3P \right)\].
- \[{{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}\].
\[={{\left( {{S}^{2}}-2P \right)}^{2}}-2{{P}^{2}}\].
- \[\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{S}{P}\].
- \[\frac{1}{{{x}_{1}}}-\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}\].
- \[\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}\]
- \[{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]\]
-
- \[=\left( \pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=\pm \left( \sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\left[ {{S}^{2}}-P \right]\].
-
- \[{{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}=\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)=\pm \left( {{S}^{2}}-2P \right)\left( S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\].
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1: Cho phương trình $\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+1=0$. Xác định $m$ để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$.
Lời giải
- Xét $2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}$ phương trình trở thành $-x+1=0\Rightarrow x=1\notin \left( -1;0 \right)$
- Xét $2m-1\ne 0\Rightarrow m\ne \frac{1}{2}$ khi đó ta có:
$\Delta '={{m}^{2}}-\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$ mọi $m$.
Suy ra phương trình có nghiệm với mọi $m$.
Ta thấy nghiệm $x=1$không thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$
Với $m\ne \frac{1}{2}$phương trình còn có nghiệm là $x=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}$
Phương trình có nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ suy ra
Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ khi và chỉ khi $m<0$.
Câu 2: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] (\[x\] là ẩn số)
- Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
- Định \[m\] để hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] của phương trình đã cho thỏa mãn: ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}$.
Lời giải
- $\Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=5-4m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$
- Phương trình hai nghiệm $\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Theo đề bài:
\[{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\]
\[\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\]
Ta có hệ phương trình:
$\Rightarrow \frac{m+1}{2}\cdot \frac{3(m-1)}{2}={{m}^{2}}-1\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$
$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$
Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm
Câu 3: Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}+5x+3m-1=0$ (\[x\] là ẩn số, $m$ là tham số) có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
Lời giải
\[\Delta ={{5}^{2}}-4.1.\left( 3m-1 \right)=29-12m\]
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[\Rightarrow \Delta \ge 0\Rightarrow m\le \frac{29}{12}\]
Áp dụng hệ thức Vi-ét
Ta có: $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$\Rightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 25-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$\Leftrightarrow 25\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$
$\Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3$
Kết hợp ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5$ suy ra ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-4$ Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1$ suy ra $m=\frac{5}{3}$
Vậy $m=\frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm
Câu 4: Cho phương trình ${{x}^{2}}-10mx+9m=0$ ($m$ là tham số)
- Giải phương trình đã cho với $m=1$.
- Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa điều kiện ${{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0$
Lời giải
- Với $m=1$ phương trình đã cho trở thành ${{x}^{2}}-10x+9=0$
Ta có $a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là
- $\Delta '={{\left( -5m \right)}^{2}}-1.9m=25{{m}^{2}}-9m$
Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $\Delta '>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0$ (*)
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}+m-1=0$ ($m$ là tham số)
- Giải phương trình đã cho với $m=0$.
- Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=4$
Lời giải
a) Với $m=0$, phương trình đã cho trở thành: ${{x}^{2}}-2x-1=0$
$\Delta '=2\text{ ; }{{\text{x}}_{1,2}}=1\pm \sqrt{2}$
Vậy với $m=0$ thì nghiệm của phương trình đã cho là ${{x}_{1,2}}=1\pm \sqrt{2}$.
b) $\Delta '=m+2$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2$
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
Do đó:
$\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=4\Leftrightarrow \frac{2(m+1)}{{{m}^{2}}+m-1}=4$
Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m\in \left\{ 1;-\frac{3}{2} \right\}$ là các giá trị cần tìm.
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Cho phương trình $2{{x}^{2}}+(2m-1)x+m-1=0$ ($m$ là tham số). Không giải phương trình, tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11$
Câu 2: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+{{m}^{2}}-3=0$ ($m$ là tham số).
- Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.
- Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Câu 3: Cho phương trình $\frac{1}{2}{{x}^{2}}-mx+\frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1=0$ ($m$ là tham số).
- Giải phương trình đã cho với $m=-1$ .
- Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn \[\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\]
Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+m+1=0$ ($m$ là tham số) có nghiệm nguyên.
Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$ ($m$ là tham số).
- Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
- Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào $m$.
- Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ (với \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình đã cho)
Câu 6: Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ ($m$ là tham số).
- Gọi hai nghiệm của phương trình là \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\]. Tính giá trị của biểu thức \[M=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}{x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}}\]. Từ đó tìm $m$ để $M>0$.
- Tìm giá trị của $m$ để biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 7: Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+2 \right)x+2m=0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\le \sqrt{2}$
Câu 8: Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0$ ($m$ là tham số). Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 9: Cho phương trình ${{x}^{2}}+2mx+2m-1=0$ ($m$ là tham số). Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất.
Câu 10: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-5=0$ ($m$ là tham số).
- Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
- Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$.
Câu 11: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-mx+m-2=0\] ($m$ là tham số).
- Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
- Định $m$ để hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] của phương trình thỏa mãn \[\frac{x_{1}^{2}-2}{{{x}_{1}}-1}.\frac{x_{2}^{2}-2}{{{x}_{2}}-1}=4\].
Câu 12: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-mx-1=0\] (1) ($m$ là tham số).
- Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
- Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình (1):
Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$
Câu 13: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] $\left( 1 \right)$ ($m$ là tham số).
- Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.
- Định $m$ để hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] của phương trình $\left( 1 \right)$ thỏa mãn: ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}$.
Câu 14: Tìm $m$ để phương trình \[{{x}^{2}}-2x-2m+1=0\] ($m$ là tham số) có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn điều kiện \[x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8\].
Câu 15: Xác định giá trị $m$ trong phương trình \[{{x}^{2}}-8x+m=0\] để \[4+\sqrt{3}\] là nghiệm của phương trình. Với $m$ vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.
Câu 16: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m-1=0\] ($m$ là tham số).
- Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
- Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ sao cho $A=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 17: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-\frac{1}{2}=0\] ($m$ là tham số).
- Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
- Tìm $m$ để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
- Tìm $m$ để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Câu 18: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2x+m+3=0\] ($m$ là tham số).
- Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=-1$. Tính nghiệm còn lại.
- Tìm $m$ để hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8$
Câu 19: Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \[{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] sao cho biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 20: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( m+5 \right)x+2m+6=0\] (\[x\] là ẩn số)
- Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của \[m\].
- Tìm $m$ để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
- Tìm $m$ để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.
Hướng dẫn giải
Câu 1:
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thì $\Delta >0$
$\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.2.\left( m-1 \right)>0$
$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m+9>0\Leftrightarrow {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne \frac{3}{2}$
Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:
Giải phương trình \[3\frac{13-4m}{7}-4\frac{7m-7}{26-8m}=11\]
Ta được
Câu 2:
- Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ${{\Delta }^{'}}\ge 0$
$\Leftrightarrow {{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow -2m+4\ge 0$
$\Leftrightarrow m\le 2$
Vậy $m\le 2$ là các giá trị cần tìm
- Với $m<2$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm.
Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là $a$ thì nghiệm kia là $3a$. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
\[\Rightarrow a=\frac{m-1}{2}\Rightarrow 3{{\left( \frac{m-1}{2} \right)}^{2}}={{m}^{2}}-3\]
\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m-15=0\]
\[\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{6}\](thỏa mãn điều kiện)
Vậy \[\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{6}\] là các giá trị cần tìm.
Câu 3:
Với $m=-1$ phương trình trở thành \[\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x-\frac{9}{2}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-9=0\]
- Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta >0\]
\[\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-4.\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1 \right)>0\Leftrightarrow -8m+2>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}\]
Để phương trình có nghiệm khác 0 \[\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1\ne 0\]
Ta có \[\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-1 \right)=0\]
Kết hợp với điều kiện ta được
Câu 4:
$\Delta ={{\left( -{{m}^{2}} \right)}^{2}}-4.1.\left( m+1 \right)={{m}^{4}}-4m-4$
Phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta ={{m}^{4}}-4m-4$ là số chính phương
Nếu thì $\Delta <0$ (loại).
Nếu $m=2$ thì $\Delta =4={{2}^{2}}$ (nhận)
Nếu $m\ge 3$ thì $2m\left( m-2 \right)>5\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$
$\Leftrightarrow \Delta -\left( 2{{m}^{2}}-4m-5 \right)<\Delta <\Delta +4m+4$
$\Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1<\Delta <{{m}^{4}}\Leftrightarrow {{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}<\Delta <{{\left( {{m}^{2}} \right)}^{2}}$
$\Delta $ không là số chính phương.
Vậy $m=2$là giá trị cần tìm
Câu 5:
a) ${{\Delta }^{'}}={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( m-3 \right)={{m}^{2}}-3m+4={{\left( m-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0$, $\forall m$
Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4=0$ không phụ thuộc vào $m$.
c) $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( m-3 \right)$
$={{\left( 2m-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{15}{4}\ge \frac{15}{4}$, $\forall m$
Do đó ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $2m-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}$
Vậy ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ với $m=\frac{5}{4}$.
Câu 6:
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có \[M=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}{x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}=\frac{{{m}^{2}}-2\left( m-1 \right)-1}{\left( m-1 \right)m}\]
\[=\frac{{{m}^{2}}-2m+1}{m\left( m-1 \right)}=\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{m\left( m-1 \right)}\]
Để $M>0\Rightarrow \frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{m\left( m-1 \right)}>0\Rightarrow m\left( m-1 \right)>0$
- Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1={{m}^{2}}-2\left( m-1 \right)-1$
$={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$, $\forall m$
Do đó ${{P}_{\min }}=0$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $m-1=0\Leftrightarrow m=1$
Vậy ${{P}_{\min }}=0$ với $m=1$.
Câu 7:
Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là
Theo hệ thức Vi-ét:
Ta có $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\le 2$
$\Leftrightarrow 2m+2+2\sqrt{2m}\le 2\Leftrightarrow m=0$ (thoả mãn)
Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.
Câu 8:
Ta có $\Delta ={{\text{ }\!\![\!\!\text{ -(m+1) }\!\!]\!\!\text{ }}^{\text{2}}}-4m={{m}^{2}}-2m+1={{(m-1)}^{2}}$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2007$
$=m\left( m+1 \right)+2007={{m}^{2}}+m+2007={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+2006+\frac{3}{4}$
$={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{8027}{4}\ge \frac{8027}{4}$, $\forall m$
Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$
Vậy ${{A}_{\min }}=\frac{8027}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$.
Câu 9:
Ta có $\Delta ={{\left( 2m \right)}^{2}}-4.1.\left( 2m-1 \right)=4{{m}^{2}}-8m+4=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$
$=m\left( m+1 \right)+2007=\left( 2m-1 \right)\left( -2m \right)=-4{{m}^{2}}+2m=-4\left( {{m}^{2}}-\frac{1}{2}m \right)$
$=-4\left( {{m}^{2}}-2.m.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \right)=-4{{\left( m-\frac{1}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$, $\forall m$
Dấu $''=''$ xảy ra $m-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$
Vậy ${{A}_{\operatorname{m}\text{ax}}}=\frac{1}{4}$ với $m=\frac{1}{4}$.
Câu 10:
- Ta có $\Delta ={{\left[ -2\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( 2m-5 \right)=4{{m}^{2}}-12m+22$
$={{\left( 2m \right)}^{2}}-2.2m.3+9+13={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}+13>0$, $\forall m$
Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I)
Theo giả thiết (II)
Thay (I) vào (II) ta có:
$\left( 2m-5 \right)-\left( 2m-2 \right)+1<0\Leftrightarrow 0.m-2<0$, đúng với mọi $m$.
Vậy với mọi $m$ thì phương trình trên có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$.
Câu 11:
- Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
\[\Delta ={{m}^{2}}-4.(m-2)={{m}^{2}}-4m+8={{(m-2)}^{2}}+4>4>0\], \[\forall m\]
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.
- Vì $a+b+c=1-m+m-2=-1\ne 0$, \[\forall m\] nên phương trình có 2 nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne 1\], \[\forall m\].
Phương trình \[{{x}^{2}}-mx+m-2=0\Rightarrow {{x}^{2}}-2=mx-m\]
Ta có \[\frac{x_{1}^{2}-2}{{{x}_{1}}-1}.\frac{x_{2}^{2}-2}{{{x}_{2}}-1}=4\Leftrightarrow \frac{m{{x}_{1}}-m}{{{x}_{1}}-1}.\frac{m{{x}_{2}}-m}{{{x}_{2}}-1}=4\]\[\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)}{({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)}=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2\]
Vậy $m=\pm 2$ là các giá trị cần tìm.
Câu 12:
- Ta có $a.c=1.\left( -1 \right)=-1<0$, với $\forall m$ nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi $m$.
b. Ta có do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình (1).
Do đó $P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}=\frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$
$=\frac{{{x}_{1}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{1}}}-\frac{{{x}_{2}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{2}}}=\left( m+1 \right)-\left( m+1 \right)=0$ vì \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\]$\ne 0$.
Vậy $P=0$.
Câu 13:
- $\Delta ={{\left[ -\left( 2m-1 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=-4m+5$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow -4m+5>0\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có
Ta có ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4{{x}_{2}}$
$\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2m-1-4{{x}_{2}}\Leftrightarrow 6m-6-4{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{3m-3}{2}$
Suy ra ${{x}_{1}}=\frac{m+1}{2}$
Do đó $\frac{m+1}{2}.\frac{3m-3}{2}={{m}^{2}}-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$ (thỏa mãn điều kiện có nghiệm)
Vậy $m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm.
Câu 14:
$\Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.1.\left( -2m+1 \right)=8m$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow 8m>0\Leftrightarrow m>0$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I)
Ta có \[x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=8\]
\[\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\] (II)
Thay (I) vào (II) ta có:
\[2{{(-2m+1)}^{2}}-\left[ 4-2\left( -2m+1 \right) \right]=8\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m-2=0\]
So với điều kiện có nghiệm $m>0$.
Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.
Câu 15:
Do \[4+\sqrt{3}\] là nghiệm của phương trình nên thỏa:
${{\left( 4+\sqrt{3} \right)}^{2}}-8\left( 4+\sqrt{3} \right)+m=0$
$\Leftrightarrow m-13=0\Leftrightarrow m=13$
Thay \[m=13\]vào phương trình ta được phương trình: \[{{x}^{2}}-8x+13=0\] $\left( * \right)$
${{\Delta }^{'}}={{\left( -4 \right)}^{2}}-1.13=3$
Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt là:
Vậy $x=4-\sqrt{3}$ là giá trị cần tìm.
Câu 16:
- Ta có $\Delta ={{\left[ -\left( 2m+1 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=5>0$, $\forall m$.
Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $A=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)=9{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}$
$=9\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)-2{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}+m-11$
$={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-11={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{45}{4}\ge -\frac{45}{4}$, $\forall m$
Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$
Vậy ${{A}_{\min }}=-\frac{45}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$.
Câu 17:
- ${{\Delta }^{'}}={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}>0$, $\forall m$.
Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
b. Hai nghiệm của phương trình là
Theo đề bài ta có $\left| m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right|=\left| m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\sqrt{2}m+\frac{1}{2}={{m}^{2}}+\sqrt{2}m+\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}m=0\Leftrightarrow m=0$
c. Theo định lý Pitago ta có: ${{\left( m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4=0$
Câu 18:
- Vì phương trình ${{x}^{2}}-2x+m+3=0$ có nghiệm $x=-1$ nên ta có:
${{(-1)}^{2}}-2.(-1)+m+3=0\Leftrightarrow m+6=0\Leftrightarrow m=-6$
Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:
${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow -1+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{x}_{2}}=3$
Vậy $m=6$ và nghiệm còn lại là $x=3$.
- $\Delta '={{1}^{2}}-1.\left( m+3 \right)=-m-2$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m<-2$
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có
$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=8$
$\Leftrightarrow {{2}^{3}}-3.(m+3).2=8\Leftrightarrow 6(m+3)=0\Leftrightarrow m+3=0$
$\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn điều kiện)
Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.
Câu 19:
$\Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=-4m+5$
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có:
Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$
$={{\left[ -\left( 2m+1 \right) \right]}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2{{m}^{2}}-4m+3$
$=2\left( {{m}^{2}}-2.m.1+1-1 \right)+3=2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1\ge 1$, $\forall m$
Dấu $''=''$ xảy ra $m-1=0\Leftrightarrow m=1$ (nhận)
Vậy ${{P}_{\min }}=1$ khi $m=1$.
Câu 20:
- \[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }={{\left[ -\left( \text{m}+\text{5} \right) \right]}^{\text{2}}}-\text{4}\text{.1}\text{.}\left( \text{2m}+\text{6} \right)\]
\[={{\left( m+5 \right)}^{2}}-4.\left( 2m+6 \right)\]
\[={{m}^{2}}+10m+25-8m-24\]
\[={{m}^{2}}+2m+1\]
\[={{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0;\,\forall m\]
Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm.
- Với mọi \[m\], phương trình đã cho có hai nghiệm \[{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\] thỏa hệ thức Vi-ét:
-
Ta có: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=35\]
\[\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=35\]
\[\Leftrightarrow {{\left( m+5 \right)}^{2}}-2\left( 2m+6 \right)=35\]
\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+25-4m-12-35=0\]
\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m-22=0\,\,\left( 1 \right)\]
\[\Delta '={{3}^{2}}-1.\left( -22 \right)=9+22=31>0\]
Vì \[\Delta '>0\] nên phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=-3+\sqrt{31};\,{{m}_{2}}=-3-\sqrt{31}\]
Vậy \[m\in \left\{ -3+\sqrt{31};\,-3-\sqrt{31} \right\}\]