Chuyên đề: Bài toán chứa tham số trong phương trình bậc hai

CHUYÊN ĐỀ: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ

TRONG PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

A. Lý thuyết

I. Ứng dụng hệ thức Vi-ét:

Xét phương trình bậc hai: \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\,\,\left( * \right)\text{ ,}\left( a\ne 0 \right),\Delta ={{b}^{2}}-4ac\].

Gọi \[S\], \[P\] lần lượt là tổng và tích của hai nghiệm \[{{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}}\].

Hệ thức Viét: .

Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm trái dấu \[\Leftrightarrow P<0\].
Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt cùng dấu .
Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt dương .
Điều kiện \[PT\,\left( * \right)\] có hai nghiệm phân biệt âm

II. Các hệ thức thường gặp

\[{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}.{{x}_{2}}={{S}^{2}}-2P\].
\[{{x}_{1}}-{{x}_{2}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}\].
\[{{x}_{2}}-{{x}_{1}}=\pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \sqrt{{{S}^{2}}-4P}\].
\[{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\pm \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}\].
\[{{x}_{1}}^{3}+{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-3{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=S.\left( {{S}^{2}}-3P \right)\].
\[{{x}_{1}}^{4}+{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}^{2}.{{x}_{2}}^{2}={{\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]}^{2}}-2x_{1}^{2}x_{2}^{2}\].

\[={{\left( {{S}^{2}}-2P \right)}^{2}}-2{{P}^{2}}\].

\[\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{S}{P}\].
\[\frac{1}{{{x}_{1}}}-\frac{1}{{{x}_{2}}}=\frac{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}\].
\[\frac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}}-\frac{{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}}=\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=\pm \frac{S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P}}{P}\]
\[{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{1}}.{{x}_{2}}+{{x}_{2}}^{2} \right)=\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]\]
- - \[=\left( \pm \sqrt{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}} \right)\left[ {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}.{{x}_{2}} \right]=\pm \left( \sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\left[ {{S}^{2}}-P \right]\].
\[{{x}_{1}}^{4}-{{x}_{2}}^{4}={{\left( {{x}_{1}}^{2} \right)}^{2}}-{{\left( {{x}_{2}}^{2} \right)}^{2}}=\left( {{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2} \right)\left( {{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2} \right)=\pm \left( {{S}^{2}}-2P \right)\left( S.\sqrt{{{S}^{2}}-4P} \right)\].

B. Bài tập

I. Bài tập minh họa

Câu 1: Cho phương trình $\left( 2m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+1=0$. Xác định $m$ để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$.

Lời giải

Xét $2m-1=0\Rightarrow m=\frac{1}{2}$ phương trình trở thành $-x+1=0\Rightarrow x=1\notin \left( -1;0 \right)$
Xét $2m-1\ne 0\Rightarrow m\ne \frac{1}{2}$ khi đó ta có:

$\Delta '={{m}^{2}}-\left( 2m-1 \right)={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$ mọi $m$.

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi $m$.

Ta thấy nghiệm $x=1$không thuộc khoảng $\left( -1;0 \right)$

Với $m\ne \frac{1}{2}$phương trình còn có nghiệm là $x=\frac{m-m+1}{2m-1}=\frac{1}{2m-1}$

Phương trình có nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ suy ra

Vậy phương trình đã cho có nghiệm trong khoảng $\left( -1;0 \right)$ khi và chỉ khi $m<0$.

Câu 2: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] (\[x\] là ẩn số)

Tìm điều kiện của \[m\] để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Định \[m\] để hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] của phương trình đã cho thỏa mãn: ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}$.

Lời giải

$\Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=5-4m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$

Phương trình hai nghiệm $\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Theo đề bài:

\[{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\]

\[\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{x}_{1}}-3{{x}_{2}}=5-4m\]

Ta có hệ phương trình:

$\Rightarrow \frac{m+1}{2}\cdot \frac{3(m-1)}{2}={{m}^{2}}-1\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-1 \right)=4\left( {{m}^{2}}-1 \right)$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm

Câu 3: Tìm $m$ để phương trình ${{x}^{2}}+5x+3m-1=0$ (\[x\] là ẩn số, $m$ là tham số) có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$

Lời giải

\[\Delta ={{5}^{2}}-4.1.\left( 3m-1 \right)=29-12m\]

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[\Rightarrow \Delta \ge 0\Rightarrow m\le \frac{29}{12}\]

Áp dụng hệ thức Vi-ét

Ta có: $x_{1}^{3}-x_{2}^{3}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$

$\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$

$\Rightarrow \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 25-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$

$\Leftrightarrow 25\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right){{x}_{1}}{{x}_{2}}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}=75$

$\Rightarrow {{x}_{1}}-{{x}_{2}}=3$

Kết hợp ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-5$ suy ra ${{x}_{1}}=-1;{{x}_{2}}=-4$ Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=3m-1$ suy ra $m=\frac{5}{3}$

Vậy $m=\frac{5}{3}$ là giá trị cần tìm

Câu 4: Cho phương trình ${{x}^{2}}-10mx+9m=0$ ($m$ là tham số)

Giải phương trình đã cho với $m=1$.
Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa điều kiện ${{x}_{1}}-9{{x}_{2}}=0$

Lời giải

Với $m=1$ phương trình đã cho trở thành ${{x}^{2}}-10x+9=0$

Ta có $a+b+c=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là

$\Delta '={{\left( -5m \right)}^{2}}-1.9m=25{{m}^{2}}-9m$

Điều kiện phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là $\Delta '>0\Leftrightarrow 25{{m}^{2}}-9m>0$ (*)

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m+1)x+{{m}^{2}}+m-1=0$ ($m$ là tham số)

Giải phương trình đã cho với $m=0$.
Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=4$

Lời giải

a) Với $m=0$, phương trình đã cho trở thành: ${{x}^{2}}-2x-1=0$

$\Delta '=2\text{ ; }{{\text{x}}_{1,2}}=1\pm \sqrt{2}$

Vậy với $m=0$ thì nghiệm của phương trình đã cho là ${{x}_{1,2}}=1\pm \sqrt{2}$.

b) $\Delta '=m+2$ Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow m+2>0\Leftrightarrow m>-2$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó:

$\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}=4\Leftrightarrow \frac{2(m+1)}{{{m}^{2}}+m-1}=4$

Kết hợp với điều kiện $\Rightarrow m\in \left\{ 1;-\frac{3}{2} \right\}$ là các giá trị cần tìm.

II. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho phương trình $2{{x}^{2}}+(2m-1)x+m-1=0$ ($m$ là tham số). Không giải phương trình, tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $3{{x}_{1}}-4{{x}_{2}}=11$

Câu 2: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+{{m}^{2}}-3=0$ ($m$ là tham số).

Tìm $m$ để phương trình đã cho có nghiệm.
Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.

Câu 3: Cho phương trình $\frac{1}{2}{{x}^{2}}-mx+\frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1=0$ ($m$ là tham số).

Giải phương trình đã cho với $m=-1$ .
Tìm $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn \[\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\]

Câu 4: Tìm tất cả các số tự nhiên $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-{{m}^{2}}x+m+1=0$ ($m$ là tham số) có nghiệm nguyên.

Câu 5: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2(m-1)x+m-3=0$ ($m$ là tham số).

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho mà không phụ thuộc vào $m$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ (với \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình đã cho)

Câu 6: Cho phương trình ${{x}^{2}}-mx+m-1=0$ ($m$ là tham số).

Gọi hai nghiệm của phương trình là \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\]. Tính giá trị của biểu thức \[M=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}{x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}}\]. Từ đó tìm $m$ để $M>0$.
Tìm giá trị của $m$ để biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 7: Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( 2m+2 \right)x+2m=0$ ($m$ là tham số). Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\le \sqrt{2}$

Câu 8: Cho phương trình ${{x}^{2}}-\left( m+1 \right)x+m=0$ ($m$ là tham số). Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 9: Cho phương trình ${{x}^{2}}+2mx+2m-1=0$ ($m$ là tham số). Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình đã cho. Tìm giá trị của $m$ để $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}$ đạt giá trị lớn nhất.

Câu 10: Cho phương trình ${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-5=0$ ($m$ là tham số).

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.
Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$.

Câu 11: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-mx+m-2=0\] ($m$ là tham số).

Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
Định $m$ để hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] của phương trình thỏa mãn \[\frac{x_{1}^{2}-2}{{{x}_{1}}-1}.\frac{x_{2}^{2}-2}{{{x}_{2}}-1}=4\].

Câu 12: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-mx-1=0\] (1) ($m$ là tham số).

Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu.
Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là các nghiệm của phương trình (1):

Tính giá trị của biểu thức: $P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$

Câu 13: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] $\left( 1 \right)$ ($m$ là tham số).

Tìm điều kiện của $m$ để phương trình $\left( 1 \right)$ có 2 nghiệm phân biệt.
Định $m$ để hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] của phương trình $\left( 1 \right)$ thỏa mãn: ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}$.

Câu 14: Tìm $m$ để phương trình \[{{x}^{2}}-2x-2m+1=0\] ($m$ là tham số) có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn điều kiện \[x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8\].

Câu 15: Xác định giá trị $m$ trong phương trình \[{{x}^{2}}-8x+m=0\] để \[4+\sqrt{3}\] là nghiệm của phương trình. Với $m$ vừa tìm được, phương trình đã cho còn một nghiệm nữa. Tìm nghiệm còn lại.

Câu 16: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x+{{m}^{2}}+m-1=0\] ($m$ là tham số).

Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Gọi \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ sao cho $A=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó.

Câu 17: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-\frac{1}{2}=0\] ($m$ là tham số).

Chứng minh rằng hhương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.
Tìm $m$ để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Tìm $m$ để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

Câu 18: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-2x+m+3=0\] ($m$ là tham số).

Tìm $m$ để phương trình có nghiệm $x=-1$. Tính nghiệm còn lại.
Tìm $m$ để hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn hệ thức $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8$

Câu 19: Tìm các giá trị của tham số $m$ để phương trình \[{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-1=0\] có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] sao cho biểu thức $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 20: Cho phương trình \[{{x}^{2}}-\left( m+5 \right)x+2m+6=0\] (\[x\] là ẩn số)

Chứng minh rằng: phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của \[m\].
Tìm $m$ để hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng nhau.
Tìm $m$ để hai nghiệm đó là số đo của 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3.

Hướng dẫn giải

Câu 1:

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thì $\Delta >0$

$\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.2.\left( m-1 \right)>0$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-12m+9>0\Leftrightarrow {{\left( 2m-3 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne \frac{3}{2}$

Mặt khác, theo hệ thức Vi-ét và giả thiết ta có:

Giải phương trình \[3\frac{13-4m}{7}-4\frac{7m-7}{26-8m}=11\]

Ta được

Câu 2:

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ${{\Delta }^{'}}\ge 0$

$\Leftrightarrow {{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-3 \right)\ge 0$

$\Leftrightarrow -2m+4\ge 0$

$\Leftrightarrow m\le 2$

Vậy $m\le 2$ là các giá trị cần tìm

Với $m<2$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm.

Gọi một nghiệm của phương trình đã cho là $a$ thì nghiệm kia là $3a$. Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

\[\Rightarrow a=\frac{m-1}{2}\Rightarrow 3{{\left( \frac{m-1}{2} \right)}^{2}}={{m}^{2}}-3\]

\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m-15=0\]

\[\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{6}\](thỏa mãn điều kiện)

Vậy \[\Rightarrow m=-3\pm 2\sqrt{6}\] là các giá trị cần tìm.

Câu 3:

Với $m=-1$ phương trình trở thành \[\frac{1}{2}{{x}^{2}}+x-\frac{9}{2}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x-9=0\]

Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì \[\Delta >0\]

\[\Leftrightarrow {{\left( -m \right)}^{2}}-4.\frac{1}{2}.\left( \frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1 \right)>0\Leftrightarrow -8m+2>0\Leftrightarrow m<\frac{1}{4}\]

Để phương trình có nghiệm khác 0 \[\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{m}^{2}}+4m-1\ne 0\]

Ta có \[\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}-1 \right)=0\]

Kết hợp với điều kiện ta được

Câu 4:

$\Delta ={{\left( -{{m}^{2}} \right)}^{2}}-4.1.\left( m+1 \right)={{m}^{4}}-4m-4$

Phương trình có nghiệm nguyên khi $\Delta ={{m}^{4}}-4m-4$ là số chính phương

Nếu thì $\Delta <0$ (loại).

Nếu $m=2$ thì $\Delta =4={{2}^{2}}$ (nhận)

Nếu $m\ge 3$ thì $2m\left( m-2 \right)>5\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-4m-5>0$

$\Leftrightarrow \Delta -\left( 2{{m}^{2}}-4m-5 \right)<\Delta <\Delta +4m+4$

$\Leftrightarrow {{m}^{4}}-2{{m}^{2}}+1<\Delta <{{m}^{4}}\Leftrightarrow {{\left( {{m}^{2}}-1 \right)}^{2}}<\Delta <{{\left( {{m}^{2}} \right)}^{2}}$

$\Delta $ không là số chính phương.

Vậy $m=2$là giá trị cần tìm

Câu 5:

a) ${{\Delta }^{'}}={{\left[ -\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-1.\left( m-3 \right)={{m}^{2}}-3m+4={{\left( m-\frac{3}{2} \right)}^{2}}+\frac{7}{4}>0$, $\forall m$

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-4=0$ không phụ thuộc vào $m$.

c) $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2\left( m-3 \right)$

$={{\left( 2m-\frac{5}{2} \right)}^{2}}+\frac{15}{4}\ge \frac{15}{4}$, $\forall m$

Do đó ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $2m-\frac{5}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{5}{4}$

Vậy ${{P}_{\min }}=\frac{15}{4}$ với $m=\frac{5}{4}$.

Câu 6:

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có \[M=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1}{x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1}{{{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}=\frac{{{m}^{2}}-2\left( m-1 \right)-1}{\left( m-1 \right)m}\]

\[=\frac{{{m}^{2}}-2m+1}{m\left( m-1 \right)}=\frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{m\left( m-1 \right)}\]

Để $M>0\Rightarrow \frac{{{\left( m-1 \right)}^{2}}}{m\left( m-1 \right)}>0\Rightarrow m\left( m-1 \right)>0$

Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-1={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-1={{m}^{2}}-2\left( m-1 \right)-1$

$={{m}^{2}}-2m+1={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0$, $\forall m$

Do đó ${{P}_{\min }}=0$ và dấu $''=''$ xảy ra khi $m-1=0\Leftrightarrow m=1$

Vậy ${{P}_{\min }}=0$ với $m=1$.

Câu 7:

Điều kiện PT có 2 nghiệm không âm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là

Theo hệ thức Vi-ét:

Ta có $\sqrt{{{x}_{1}}}+\sqrt{{{x}_{2}}}\le \sqrt{2}\Leftrightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+2\sqrt{{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\le 2$

$\Leftrightarrow 2m+2+2\sqrt{2m}\le 2\Leftrightarrow m=0$ (thoả mãn)

Vậy $m=0$ là giá trị cần tìm.

Câu 8:

Ta có $\Delta ={{\text{ }\!\![\!\!\text{ -(m+1) }\!\!]\!\!\text{ }}^{\text{2}}}-4m={{m}^{2}}-2m+1={{(m-1)}^{2}}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}+2007={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2007$

$=m\left( m+1 \right)+2007={{m}^{2}}+m+2007={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+2006+\frac{3}{4}$

$={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{8027}{4}\ge \frac{8027}{4}$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=\frac{-1}{2}$

Vậy ${{A}_{\min }}=\frac{8027}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$.

Câu 9:

Ta có $\Delta ={{\left( 2m \right)}^{2}}-4.1.\left( 2m-1 \right)=4{{m}^{2}}-8m+4=4{{\left( m-1 \right)}^{2}}$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Delta >0\Rightarrow {{\left( m-1 \right)}^{2}}>0\Rightarrow m\ne 1$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có $A=x_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{x}_{1}}x_{2}^{2}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)$

$=m\left( m+1 \right)+2007=\left( 2m-1 \right)\left( -2m \right)=-4{{m}^{2}}+2m=-4\left( {{m}^{2}}-\frac{1}{2}m \right)$

$=-4\left( {{m}^{2}}-2.m.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}-\frac{1}{16} \right)=-4{{\left( m-\frac{1}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$

Vậy ${{A}_{\operatorname{m}\text{ax}}}=\frac{1}{4}$ với $m=\frac{1}{4}$.

Câu 10:

Ta có $\Delta ={{\left[ -2\left( m-1 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( 2m-5 \right)=4{{m}^{2}}-12m+22$

$={{\left( 2m \right)}^{2}}-2.2m.3+9+13={{\left( 2m+3 \right)}^{2}}+13>0$, $\forall m$

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I)

Theo giả thiết (II)

Thay (I) vào (II) ta có:

$\left( 2m-5 \right)-\left( 2m-2 \right)+1<0\Leftrightarrow 0.m-2<0$, đúng với mọi $m$.

Vậy với mọi $m$ thì phương trình trên có hai nghiệm \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] thỏa mãn ${{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$.

Câu 11:

Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.

\[\Delta ={{m}^{2}}-4.(m-2)={{m}^{2}}-4m+8={{(m-2)}^{2}}+4>4>0\], \[\forall m\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Vì $a+b+c=1-m+m-2=-1\ne 0$, \[\forall m\] nên phương trình có 2 nghiệm \[{{x}_{1}},{{x}_{2}}\ne 1\], \[\forall m\].

Phương trình \[{{x}^{2}}-mx+m-2=0\Rightarrow {{x}^{2}}-2=mx-m\]

Ta có \[\frac{x_{1}^{2}-2}{{{x}_{1}}-1}.\frac{x_{2}^{2}-2}{{{x}_{2}}-1}=4\Leftrightarrow \frac{m{{x}_{1}}-m}{{{x}_{1}}-1}.\frac{m{{x}_{2}}-m}{{{x}_{2}}-1}=4\]\[\Leftrightarrow \frac{{{m}^{2}}({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)}{({{x}_{1}}-1)({{x}_{2}}-1)}=4\Leftrightarrow {{m}^{2}}=4\Leftrightarrow m=\pm 2\]

Vậy $m=\pm 2$ là các giá trị cần tìm.

Câu 12:

Ta có $a.c=1.\left( -1 \right)=-1<0$, với $\forall m$ nên phương trình (1) luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi $m$.

b. Ta có do \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\] là nghiệm của phương trình (1).

Do đó $P=\frac{x_{1}^{2}+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{x_{2}^{2}+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}=\frac{m{{x}_{1}}+1+{{x}_{1}}-1}{{{x}_{1}}}-\frac{m{{x}_{2}}+1+{{x}_{2}}-1}{{{x}_{2}}}$

$=\frac{{{x}_{1}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{1}}}-\frac{{{x}_{2}}\left( m+1 \right)}{{{x}_{2}}}=\left( m+1 \right)-\left( m+1 \right)=0$ vì \[{{x}_{1}}\], \[{{x}_{2}}\]$\ne 0$.

Vậy $P=0$.

Câu 13:

$\Delta ={{\left[ -\left( 2m-1 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=-4m+5$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow -4m+5>0\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có

Ta có ${{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}={{x}_{1}}-3{{x}_{2}}\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-4{{x}_{1}}{{x}_{2}}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-4{{x}_{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2m-1-4{{x}_{2}}\Leftrightarrow 6m-6-4{{x}_{2}}=0\Leftrightarrow {{x}_{2}}=\frac{3m-3}{2}$

Suy ra ${{x}_{1}}=\frac{m+1}{2}$

Do đó $\frac{m+1}{2}.\frac{3m-3}{2}={{m}^{2}}-1\Leftrightarrow {{m}^{2}}-1=0\Leftrightarrow m=\pm 1$ (thỏa mãn điều kiện có nghiệm)

Vậy $m=\pm 1$ là các giá trị cần tìm.

Câu 14:

$\Delta ={{\left( -2 \right)}^{2}}-4.1.\left( -2m+1 \right)=8m$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0\Leftrightarrow 8m>0\Leftrightarrow m>0$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có (I)

Ta có \[x_{2}^{2}(x_{1}^{2}-1)+x_{1}^{2}(x_{2}^{2}-1)=8\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})=8\]

\[\Leftrightarrow 2{{\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)}^{2}}-\left[ {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right]=8\] (II)

Thay (I) vào (II) ta có:

\[2{{(-2m+1)}^{2}}-\left[ 4-2\left( -2m+1 \right) \right]=8\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-3m-2=0\]

So với điều kiện có nghiệm $m>0$.

Vậy $m=2$ là giá trị cần tìm.

Câu 15:

Do \[4+\sqrt{3}\] là nghiệm của phương trình nên thỏa:

${{\left( 4+\sqrt{3} \right)}^{2}}-8\left( 4+\sqrt{3} \right)+m=0$

$\Leftrightarrow m-13=0\Leftrightarrow m=13$

Thay \[m=13\]vào phương trình ta được phương trình: \[{{x}^{2}}-8x+13=0\] $\left( * \right)$

${{\Delta }^{'}}={{\left( -4 \right)}^{2}}-1.13=3$

Phương trình $\left( * \right)$ có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy $x=4-\sqrt{3}$ là giá trị cần tìm.

Câu 16:

Ta có $\Delta ={{\left[ -\left( 2m+1 \right) \right]}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)=5>0$, $\forall m$.

Nên phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có $A=\left( 2{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)\left( 2{{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)=5{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2\left( x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \right)=9{{x}_{1}}{{x}_{2}}-2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}$

$=9\left( {{m}^{2}}+m-1 \right)-2{{\left( 2m+1 \right)}^{2}}={{m}^{2}}+m-11$

$={{m}^{2}}+2.m.\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}-11={{\left( m+\frac{1}{2} \right)}^{2}}-\frac{45}{4}\ge -\frac{45}{4}$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m+\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}$

Vậy ${{A}_{\min }}=-\frac{45}{4}$ với $m=-\frac{1}{2}$.

Câu 17:

${{\Delta }^{'}}={{\left( -m \right)}^{2}}-1.\left( {{m}^{2}}-\frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}>0$, $\forall m$.

Nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị $m$.

b. Hai nghiệm của phương trình là

Theo đề bài ta có $\left| m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right|=\left| m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right|\Leftrightarrow {{m}^{2}}-\sqrt{2}m+\frac{1}{2}={{m}^{2}}+\sqrt{2}m+\frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}m=0\Leftrightarrow m=0$

c. Theo định lý Pitago ta có: ${{\left( m-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}+{{\left( m+\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-8=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-4=0$

Câu 18:

Vì phương trình ${{x}^{2}}-2x+m+3=0$ có nghiệm $x=-1$ nên ta có:

${{(-1)}^{2}}-2.(-1)+m+3=0\Leftrightarrow m+6=0\Leftrightarrow m=-6$

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có:

${{x}_{1}}+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow -1+{{x}_{2}}=2\Leftrightarrow {{x}_{2}}=3$

Vậy $m=6$ và nghiệm còn lại là $x=3$.

$\Delta '={{1}^{2}}-1.\left( m+3 \right)=-m-2$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow {{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m<-2$

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có

$x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=8\Leftrightarrow {{({{x}_{1}}+{{x}_{2}})}^{3}}-3{{x}_{1}}{{x}_{2}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})=8$

$\Leftrightarrow {{2}^{3}}-3.(m+3).2=8\Leftrightarrow 6(m+3)=0\Leftrightarrow m+3=0$

$\Leftrightarrow m=-3$ (thỏa mãn điều kiện)

Vậy $m=-3$ là giá trị cần tìm.

Câu 19:

$\Delta ={{\left( 2m-1 \right)}^{2}}-4.1.\left( {{m}^{2}}-1 \right)=-4m+5$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow m<\frac{5}{4}$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Ta có $P=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}={{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}$

$={{\left[ -\left( 2m+1 \right) \right]}^{2}}-2\left( {{m}^{2}}-1 \right)=2{{m}^{2}}-4m+3$

$=2\left( {{m}^{2}}-2.m.1+1-1 \right)+3=2{{\left( m-1 \right)}^{2}}+1\ge 1$, $\forall m$

Dấu $''=''$ xảy ra $m-1=0\Leftrightarrow m=1$ (nhận)

Vậy ${{P}_{\min }}=1$ khi $m=1$.

Câu 20:

\[\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }={{\left[ -\left( \text{m}+\text{5} \right) \right]}^{\text{2}}}-\text{4}\text{.1}\text{.}\left( \text{2m}+\text{6} \right)\]

\[={{\left( m+5 \right)}^{2}}-4.\left( 2m+6 \right)\]

\[={{m}^{2}}+10m+25-8m-24\]

\[={{m}^{2}}+2m+1\]

\[={{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0;\,\forall m\]

Vậy với mọi giá trị của m phương trình luôn luôn có hai nghiệm.

Với mọi \[m\], phương trình đã cho có hai nghiệm \[{{x}_{1}},\,{{x}_{2}}\] thỏa hệ thức Vi-ét:
Ta có: \[x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=35\]

\[\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=35\]

\[\Leftrightarrow {{\left( m+5 \right)}^{2}}-2\left( 2m+6 \right)=35\]

\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+10m+25-4m-12-35=0\]

\[\Leftrightarrow {{m}^{2}}+6m-22=0\,\,\left( 1 \right)\]

\[\Delta '={{3}^{2}}-1.\left( -22 \right)=9+22=31>0\]

Vì \[\Delta '>0\] nên phương trình $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt: \[{{m}_{1}}=-3+\sqrt{31};\,{{m}_{2}}=-3-\sqrt{31}\]

Vậy \[m\in \left\{ -3+\sqrt{31};\,-3-\sqrt{31} \right\}\]