Chuyên đề: Các bài tập nâng cao trong rút gọn đa thức
A. Lý thuyết
- Nắm vững các dạng rút gọn, các hằng đẳng thức, quy đồng đặt nhân tử chung,...
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1. Cho biểu thức P=b2a2+a2b2−(ba+ab)(ba+ab+1)(a1−b1)2 với a > 0, b > 0, a ≠ b.
- Chứng minh P=ab1
- Giả sử a, b thay đổi sao cho 4a+b+ab=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Giải
Ta có:
P=b2a2+a2b2−(ba+ab)(ba+ab+1)(a1−b1)2=a2b2a4+a2b2b4−(a2b2a3b+a2b2ab3)(aba2+abb2+abab)(aba−b)2=a2b2(a3−b3)(a−b)a3b3(a3−b3)(a−b)=ab1
Câu 2.
Cho hai số thực a , b thỏa điều kiện ab = 1, a +b ¹ 0 . Tính giá trị của biểu thức:
P=(a+b)31(a31+b31)+(a+b)43(a21+b21)+(a+b)56(a1+b1)
Giải
Với ab = 1 , a + b ¹ 0, ta có:
P=(a+b)31(a31+b31)+(a+b)43(a21+b21)+(a+b)56(a1+b1)=(a+b)3a3+b3+(a+b)43(a2+b2)+(a+b)56(a+b)=(a+b)2a2+b2−1+(a+b)43(a2+b2)+(a+b)56(a+b)=(a+b)4(a2+b2−1)(a+b)2+3(a2+b2)+6=(a+b)4(a2+b2−1)(a2+b2+2)+3(a2+b2)+6=(a+b)4(a2+b2+2)2=(a+b)4(a2+b2+2ab)2=1
Vậy P = 1, với ab = 1 , a+b ¹ 0.
Câu 3.
Cho các số thực dương a, b.Chứng minh rằng
aa−bb(a−b)3(a−b)3−bb+2aa+b−a3a+3ab=0
Giải
Q=aa−bb(a−b)3(a−b)3−bb+2aa+b−a3a+3ab=(a−b)(a+ab+b)(a−b)3(a−b)3.(a+b)3−bb+2aa−(a−b)(a+b)3a(a+b)=(a−b)(a+ab+b)aa+3ab+3ba+bb+2aa−a−b3a=(a−b)(a+ab+b)3aa+3ab+3ba−3aa−3ab−3ba=0(DPCM)
Câu 4.Cho các số dương x, y, z thỏa mãn các điều kiện x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2.
Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y, z:
P=x1+x2(1+y2)(1+z2)+y1+y2(1+x2)(1+z2)+z1+z2(1+y2)(1+x2)
Giải
Xét (x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+xz+yz)⇒xy+yz+xz=2(x+y+z)2−(x2+y2+z2)
Thay x + y + z = 2 và x2 + y2 + z2 = 2 ta có xy + yz + zx = 1.
Thay 1 = xy + yz + zx ta có:
x1+x2(1+y2)(1+z2)=xxy+yz+zx+x2(xy+yz+zx+y2)(xy+yz+zx+z2)=x(x+y)(x+z)(y+z)(y+x)(z+y)(z+x)=x(y+z)
Tương tự ta có:
y1+y2(1+z2)(1+x2)=y(z+x)
z1+z2(1+y2)(1+x2)=z(y+x)
Cộng từng vế của ba đẳng thức trên ta có
P=xy+xz+yz+xy+zx+zy=2(xy+yz+zx)=2
Vậy biểu thức P không phụ thuộc vào x, y, z.
Câu 5.
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 0 và xyz ≠ 0.
Tính giá trị biểu thức P=y2+z2−x2x2+z2+x2−y2y2+x2+y2−z2z2
Giải
Ta có
x+y+z=0⇔(y+z)2=(−x)2⇔y2+z2−x2=−2yz
Tương tự:
z2+x2−y2=−2zx
x2+y2−z2=−2yz
P=−2yzx2+−2zxy2+−2yzz2=−2xyzx3+y3+z3
Mà
x3+y3+z3=(x+y)3−3x2y−3xy2+z3=(−z)3−3xy(x+y)+z3=3xy⇒P=−2xyz3xyz=−23
II. Bài tập tự luyện
Câu 1: Rút gọn các biểu thức:
a) A = 1−23−6−1+22+8
b) B = (x−41−x + 4x+41).xx + 2x ( với x > 0, x ̸= 4 ).
Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = (2+3+13+3).(2−3−13−3)
b) B = (a - abb - ab - ba).(ab - ba) ( với a > 0, b > 0, a ̸=b)
Câu 3: Cho biểu thức A = (a−1a−a - aa):a - 1a+1 với a > 0, a ̸= 1
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 4: a) Rút gọn biểu thức: A = (x - 43x+6+x−2x):x−3x - 9 với x ≥ 0, x ̸= 4, x ̸= 9.
Câu 5: Rút gọn các biểu thức:
a) A = 38−50−(2−1)2
b) B = x - 12.4x2x2 - 2x + 1, với 0 < x < 1
Câu 6: 1) Rút gọn biểu thức:
A = (1 − a1 − aa + a)(1 − a1 − a)2 với a ≥ 0 và a ≠ 1.
Câu 7: Tính gọn biểu thức:
1) A = 20 - 45 + 318 + 72.
2) B = (1 + a + 1a + a)(1 + 1-aa - a) với a ≥ 0, a ≠ 1.
Câu 8: Cho biểu thức: P = (a - aaa - 1 - a + aaa + 1) : a - 2a +2 với a > 0, a ¹ 1, a ¹ 2.
1) Rút gọn P.
2) Tìm giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên.
Câu 9: Cho biểu thức
P = x - 2x + 1 + x + 22x + 4 - x2 + 5x với x ≥ 0, x ≠ 4.
1) Rút gọn P.
2) Tìm x để P = 2.
Câu 10: Cho M = (x - 1x - x - x1) : (x+11 + x - 12) với x>0,x̸=1.
a) Rút gọn M.
b) Tìm x sao cho M > 0.
Câu 11: Cho biểu thức: K = x - 1x - x - x2x - x với x >0 và x̸=1
Rút gọn biểu thức K
Tìm giá trị của biểu thức K tại x = 4 + 23
Câu 12: Rút gọn các biểu thức:
1) 45+20−5.
2) xx+x+x+2x−4 với x > 0.
Câu 13: Cho các biểu thức A = 55+75+1+1111+11,B=5:5+555
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Chứng minh: A - B = 7.
Câu 14: Rút gọn các biểu thức :
a) A = 5 - 22 - 5 + 22
b) B = (x - x1) : (xx - 1 + x + x1 - x) với x>0,x̸=1.
Câu 15: Cho biểu thức: P = (2a−2a1)(a+1a−a−a−1a+a)
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Tìm a để P > - 2
Câu 16. Rút gọn:
A = (1−5)⋅255+5.
B = (1+1+xx+x)(1+1−xx−x) với 0≤x̸=1.
Câu 17. Cho biểu thức A = (x−1x−x−x1):(x+11+x−12)
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tính giá trị của A khi x=22+3.
Câu 18: Cho biểu thức P = (x + x1−x+11):x + 2x+1x với x > 0.Rút gọn biểu thức P.
Tìm các giá trị của x để P > 21.
Câu 19: Rút gọn các biểu thức sau:
1) A = 2120−80+3245
2) B = (2+5−15−5).(2−5+15+5)
Câu 20: Cho biểu thức A = (a+1a−a + aa):a - 1a−1 với a > 0, a ̸= 1.
1) Rút gọn biểu thức A.
2) Tìm các giá trị của a để A < 0.
Câu 21: Cho biểu thức P = (a−31+a+31)(1−a3) với a > 0 và a ̸= 9.
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm các giá trị của a để P > 21.
Câu 22. Rút gọn biểu thức P = a2+2a9a−25a+4a3 với a>0.
Câu 23: Tính:
a) A=20−318−45+72.
b) B=4+7+4−7.
c) C=x+2x−1+x−2x−1 với x > 1
Câu 24: 1) Rút gọn biểu thức: P = (7+3−2)(7−3+2).
Câu 25: Cho biểu thức A =(1−a+12a):(a+11−aa+a+a+12a). Rút gọn biểu thức A.
Câu 26: Rút gọn biểu thức: P = (a−1+1)2+(a−1−1)2 với a > 1
Câu 27: Cho biểu thức: Q = (2x−2x1)2(x−1x+1−x+1x−1). Tìm tất cả các giá trị của x để Q có nghĩa. Rút gọn Q.
Câu 28: Rút gọn A = x+3x2+6x+9 với x̸=−3.
Câu 29: a) Tính (1+5)2+(1−5)2.
b) Giải phương trình: x2 + 2x - 24 = 0.
Câu 30: Cho biểu thức: P = a+32a+a−3a+1+9−a3+7a với a > 0, a ̸= 9.
a) Rút gọn.
b) Tìm a để P < 1.
Câu 31: Cho biểu thức: M = x+x+1x2−x−x−x+1x2+x+x+1
Rút gọn biểu thức M với x≥0.
Câu 32: Cho biểu thức: P = x−x+1x2+x+1−x2x+x với x > 0.Rút gọi biểu thức P.
Câu 33:
Tính: 48−275+108
Rút gọn biểu thức: P= (1−x1−1+x1).(1−x1) với x̸=1 và x >0
ĐÁP ÁN
Câu 1: a) A = 1−23−6−1+22+8=1−23(1−2)−1+22(1+2)=3−2
b) B = (x−41−x + 4x+41).xx + 2x = ((x−2)(x+2)1−(x+2)21).xx(x + 2)
=x−21−x+21=x - 4(x+2)−(x−2)=x - 44
Câu 2:
a) A = (2+3+13+3).(2−3−13−3)=(2+3+13(3+1))(2−3−13(3−1))=(2+3)(2−3)=1.
b) (a - abb - ab - ba).(ab - ba)=⎝⎛a(a−b)b - b(a−b)a⎠⎞.ab(a - b)
=ab.ab−ba.ab=b - a.
Câu 3:
a) A =(a−1a−a(a - 1)a):(a - 1)(a+1)a+1=(a−1a−(a - 1)1).(a−1)=a−1
b) A < 0 .png)
Câu 4: a) A =(x - 43x+6+x−2x):x−3x - 9
=((x−2)(x+2)3(x+2)+x−2x):x−3(x−3)(x+3)
=(x−23+x).x+31=x−21, với x ≥ 0,x ̸= 4,x ̸= 9.
Câu 5:
A=38−50−(2−1)2=62−52−(2−1)=1
b) B = x - 12.4x2x2 - 2x + 1=x - 1222x2(x - 1)2=x - 12.2∣x∣∣x - 1∣
Vì 0 < x < 1 nên ⇒B = 2x(x - 1)- 2(x - 1)=−x1.
Câu 6: 1) Rút gọn
A = [1 - a(1 - a) (1 + a + a) + a][(1 - a) (1 + a)1 - a]2
= (1 + 2a + a).(1 + a)21 = (1 + a)2.(1 +a)21 = 1.
Câu 7: Rút gọn biểu thức
1) A = 20 - 45 + 318 + 72 = 5 . 4 - 9 . 5 + 39 . 2 + 36 . 2
= 25 - 35 + 92 + 62 = 152 - 5
2) B = (1 + a + 1a + a)(1 + 1 - aa - a) với a ≥ 0, a ≠ 1
= (1 + a + 1a (a + 1))(1 - a - 1a (a - 1)) = (1 + a) (1 - a) = 1 - a
Câu 8:
1) Điều kiện: a ≥ 0, a ≠ 1, a ≠ 2
Ta có: P = [a (a - 1)(a - 1) (a + a + 1) - a (a + 1)(a + 1) (a - a + 1)] : a - 2a + 2
= aa + a + 1 - a + a - 1 : a - 2a + 2 = a + 22 (a - 2)
Câu 9: 1) Ta có : P = x - 2x + 1 + x +22x - x - 42 + 5x
P = (x - 2) (x + 2)(x+1) (x +2) + 2x (x - 2) - 2 - 5x =
= (x +2) (x - 2)x + 3x +2 + 2x - 4x - 2 - 5x
= (x + 2) (x - 2)3x - 6x = (x + 2) (x - 2)3x (x−2) = x +23x
Câu 10: a) M = (x - 1x - x - x1) : (x + 11 + x - 12)
= [x - 1x - x (x - 1)1] : [(x - 1) (x + 1)x - 1 + (x - 1) (x +1)2]
= x (x - 1)x - 1 : (x - 1) (x +1)x + 1 = x(x - 1)x - 1 . x + 1(x - 1) (x + 1)
= xx - 1.
Câu 11:
1) K = x - 1x-x(x - 1)x(2x - 1) = x - 1x - 2x + 1 = x - 1
2) Khi x = 4 + 23, ta có: K = 4+23- 1 = (3+1)2−1=3+1−1=3
Câu 12: Rút gọn biểu thức:
1) 45+20−5 = 32.5+22.5−5
= 35+25−5 = 45
2) xx+x+x+2x−4= xx(x+1)+x+2(x+2)(x−2)
= x+1+x−2 = 2x−1
Câu 13: a) A = 55(5+7)+1+1111(11+1)=5+7+11.
b) B = 5.55(5+11)=5+11.
Vậy A−B=5+7+11−5−11=7
Câu 14: a) A = (5 - 2) (5 +2)2(5 +2) - 2(5 - 2) = (5)2 - 2225 +4 - 25 + 4 = 5 - 48 = 8.
b) Ta có:
B = xx - 1:x(x +1)(x - 1)(x + 1) +1 - x = xx - 1⋅x - 1 + 1 - xx(x +1) = x (x - 1)(x - 1)(x +1)=x (x +1)2
Câu 15.
1) A = (1−5)⋅255(1+5)=(1−5)⋅2(1+5)=21−5=−2.
2) B = (1+1+xx(x+1))(1+1−xx(x−1))=(1+x)(1−x)=1−x.
Câu 16.
1) Ta có A = (x(x−1)x−1):(x−1x+1) = xx+1.x+1x−1=xx−1.
Câu 17:
1) P = (x + x1−x+11):x + 2x+1x =(x(x+1)1−x(x+1)x).x(x+1)2
=x(x+1)1−x.x(x+1)2=x.x(1−x)(x+1)=x1 - x .
2) Với x > 0 thì x1 - x>21⇔2(1 - x)>x⇔-3x+2>0⇔x<32
Câu 18:
1) A = 214.5−16.5+329.5 = 5−45+25 = −5.
2) B = (2+5−15−5).(2−5+15+5)
=(2+5−15(5−1))(2−5+15(5+1))=(2+5)(2−5)=−1
Câu 19.
1) A =(a+1a−a(a + 1)a):(a - 1)(a+1)a−1 =(a+1a−a + 11).(a+1)=a−1
2) A < 0 .png)
Câu 20:
a) P = (a−31+a+31).(1−a3)=(a−3)(a+3)a+3+a−3.aa−3.
= (a−3)(a+3).a2a.(a−3)=a+32. Vậy P = a+32.
b) Ta có: a+32 > 21 ⇔ a + 3 < 4 ⇔a < 1
Vậy P > 21 khi và chỉ khi 0 < a < 1.
Câu 21. 1) Ta có 9a−25a+4a3=9a−5a+2aa =2a(a+2) và a2+2a=a(a+2)
nên P = a(a+2)2a(a+2)=a2 .
Câu 22: Tính
a) A = 20−318−45+72=4.5−39.2−9.5+36.2 =
= 25−92−35+62=−32−5.
b) B = 4+7+4−7
2B=8+27+8−27=(7+1)2+(7−1)2=7+1+∣∣∣7−1∣∣∣
2B=27⇔B=14
c) C = x+2x−1+x−2x−1 với x > 1
C = (x−1+1)2+(x−1−1)2=x−1+1+∣∣x−1−1∣∣
+) Nếu x > 2 thì C = x−1+1+x−1−1=2x−1
+) Nếu x < 2, thì C = x−1+1+1−x−1=2.
Câu 23: 1) P = (7+3−2)(7−3+2)= [ 7+(3−2) ] [ 7−(3−2) ]
= (7)2−(3−2))2=7−(3−43+4)=43.
Câu 24: a) A = (a+1a+1−2a):[a+11−a(a+1)+(a+1)2a]
= a+1(a−1)2:[a+11−(a+1)(a+1)2a]=a+1(a−1)2:(a+1)(a+1)(a−1)2.
= a+1(a−1)2.(a−1)2(a+1)(a+1)=a+1.
b) a = 2011 - 2 2010=(2010−1)2⇒a=2010−1
Vậy A = 2010.
Câu 25: P = ∣∣a−1+1∣∣+∣∣a−1−1∣∣
Nếu a> 2 => a−1−1≥0⇒P=2a−1
Nếu 1< a < 2 => a−1−1 < 0 => P = 2
Câu 26: ĐKXĐ: x > 0; x ̸= 1.
1) Q = 4x(x−1)2.x−1(x+1)2−(x−1)2=4x.(x−1)(x−1)2.4x=xx−1.
2) Q = - 3x−3 => 4x + 3x - 1 = 0
(thỏa mãn)
Câu 27: A = x+3(x+3)2=x+3∣x+3∣ = .png)
Câu 28: a) P = a+32a+a−3a+1+(a−3)(a+3)−7a−3
= (a−3)(a+3)2a(a−3)+(a+1)(a+3)−7a−3=(a−3)(a+3)2a−6a+a+4a+3−7a−3
= (a−3)(a+3)3a−9a=(a−3)(a+3)3a(a−3)=a+33a
Vậy P = a+33a.
b) P < 1 ⇔a+33a<1⇔3a<a+3⇔a<23⇔0≤a<49.
Câu 29: M = x+x+1x(x3−1)−x−x+1x(x3+1)+ x + 1
= x+x+1x(x−1)(x+x+1)−x−x+1x(x+1)(x−x+1)+x+1
= x - x- x - x + x + 1 = x - 2x + 1 = (x - 1)2
Câu 30:
a) Ta có x2 + x=x(x3+1)=x(x+1)(x−x+1)
nên P = x−x+1x(x+1)(x−x+1)+1−xx(2x+1)
= x(x+1)+1−2x−1=x−x. Vậy P = x−x.
b) P = 0 ⇔ x - x = 0 ⇔x(x - 1) = 0 ⇔ x = 0 (loại) ; x = 1 (t/m)
Vậy x = 1 thì P = 0
Câu 31:
1) Tính: 48 - 275 + 108= 16 . 3 - 225 . 3 + 36 . 3
= 43 - 103 + 63 = 0
2) Rút gọn biểu thức: P = (1 - x1 - 1 + x1) . (1 - x1)
= (1- x1 + x - 1 +x)(xx - 1) =1- x2x . xx - 1 = 1 + x- 2
Bài viết gợi ý: