CHUYÊN ĐỀ: RÚT GỌN BIỀU THỨC CHỨA CHỮ
A. Lý thuyết
- Sử dụng các quy tắc biến đổi: trục căn thức, hằng đẳng thức đáng nhớ, quy đồng phân số,... để rút gọn biểu thức.
B. Bài tập
I. Bài tập minh họa
Câu 1. Rút gọn biểu thức \[A=(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-3)-{{(\sqrt{a}+1)}^{2}}+\sqrt{9a}\] với \[a\ge 0\]
Giải
\[(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-3)=a-\sqrt{a}-6\]
\[{{(\sqrt{a}+1)}^{2}}=a+2\sqrt{a}+1\]
\[A=a-\sqrt{a}-6-(a+2\sqrt{a}+1)+3\sqrt{a}\]
A= -7
Câu 2.Rút gọn biểu thức \[M=\frac{{{(a+b)}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}}{ab}\]với ab ≠ 0
Giải
\[M=\frac{{{(a+b)}^{2}}-{{(a-b)}^{2}}}{ab}\]\[=\frac{(a+b+a-b)(a+b-a+b)}{ab}=\frac{2a.2b}{ab}=4\]
Câu 3. Rút gọn biểu thức:\[P=(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}).{{(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a})}^{2}}\] (với a\[\ge \]0;a\[\ne \]1)
Giải
Với a\[\ge \]0 a\[\ne \]1 ta có:
\[P=(\frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a}).{{(\frac{1-\sqrt{a}}{1-a})}^{2}}\]
\[=\left( \frac{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a}+\sqrt{{{a}^{2}}})}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right){{\left( \frac{1-\sqrt{a}}{(1-\sqrt{a})(1+\sqrt{a})} \right)}^{2}}={{(1+\sqrt{a})}^{2}}.\frac{1}{{{(1+\sqrt{a})}^{2}}}=1\]
Câu 4.Rút gọn biểu thức \[B=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+1+\sqrt{x-2}\] với 2 ≤ x < 3
Giải
\[B=\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}+1+\sqrt{x-2}\] với 2 ≤ x < 3
\[B=\sqrt{{{(\sqrt{x-2}-1)}^{2}}}+1+\sqrt{x-2}=|\sqrt{x-2}-1|+1+\sqrt{x-2}=-\sqrt{x-2}+1+1+\sqrt{x-2}=2\]
(Vì 2 < x < 3 => \[\sqrt{x-2}\] – 1 < 0)
Câu 5. Rút gọn biểu thức: \[A=(\frac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}):(1-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1})\] với x ≥ 0, x ≠ 1
Giải
- \[A=(\frac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}):(1-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1})\] với x ≥ 0, x ≠ 1
\[=\left( \frac{2\sqrt{x}+x}{{{(\sqrt{x})}^{3}}-1}-\frac{\sqrt{x}+x+1}{{{(\sqrt{x})}^{3}}-1} \right):\frac{\sqrt{x}+x+1-(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}+x+1}=\frac{2\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x-1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+x+1)}.\frac{\sqrt{x}+x+1}{\sqrt{x}+x+1-\sqrt{x}-2}\] \[=\frac{2\sqrt{x}+x-\sqrt{x}-x-1}{(\sqrt{x}-1)(x-1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}-1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}\]
II. Bài tập tự luyện
Câu 1. Rút gọn biểu thức : \[B=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{1-x}\]
Câu 2. Rút gọn biểu thức:$B=\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{1-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-5}{x-1}$ với x ≥ 0, x ≠ 1
Câu 3.Cho biểu thức G =\[\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}\].Tìm x để G có nghĩa và rút gọn G.
Câu 4.Cho biểu thức: \[P=\frac{2+\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\] điều kiện x ≥ 0 và x ≠ 1.Rút gọn biểu thức P
Câu 5.Rút gọn biểu thức: $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{x-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}$ với$x\ge 0$ và$x\ne 1$
Câu 6.Rút gọn biểu thức \[A=(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2}{\sqrt{x}-2}):\frac{x+4}{\sqrt{x}+2}\]
Câu 7.Rút ngắn biểu thức: \[P=(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}):\frac{a+1}{a-1}\]
Câu 8.Rút gọn các biểu thức sau: \[B=(\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2})\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}\] với x > 0 và x ≠ 4.
Câu 9: Cho biểu thức \[A=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}\] (với a\[\in R,a\ge 0\] và a\[\ne \]1).Rút gọn biểu thức A.
Câu 10. Rút gọn biểu thức :\[B=(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}}):\frac{1}{x-\sqrt{x}}\]
Câu 11. Rút gọn các biểu thức:\[Q=(\frac{1}{\sqrt{x}+4}+\frac{1}{\sqrt{x}-4})\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}\]
Câu 12.Rút gọn các biểu thức: \[Q=(1+\frac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}).\frac{1}{\sqrt{x}}\] với x > 0, x ¹ 1.
Câu 13.Rút gọn biểu thức: \[P=(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1})(x\sqrt{x}+x)\] với x>0.
Câu 14.Cho biểu thức: \[P=(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}):(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1})\] Với a>0;a \[\ne \]1;a\[\ne \]4
Rút gọn P.
Câu 15.Rút gọn biểu thức: \[B=\frac{3}{\sqrt{x}-2}+\frac{4}{\sqrt{x}+2}-\frac{12}{x-4}(x\ge 0;x\ne 4)\]
Câu 16. Rút gọn biểu thức \[A=(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}-3).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\] với x ≥ 0 và x ≠ 1
Câu 17. Cho biểu thức
$P=\left( \frac{4\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{8x}{4-x} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-4}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)$ với x > 0, x ≠ 1, x ≠ 4 Rút gọn P
Câu 18.Cho biểu thức$P=\left( \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right):\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1} \right)$. Rút gọn biểu thức P
Câu 19. Rút gọn biểu thức:
\[A=(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}):\frac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}(x>0;x\ne 4)\]
Hướng dẫn giải
Câu 1. \[B=\frac{(1-x)-(1+x)}{(1+x)(1-x)}=\frac{-2x}{1-{{x}^{2}}}\]
Câu 2. Với x ≥ 0 và x ≠ 1, ta có:
$B=\frac{4}{\sqrt{x}+1}+\frac{2}{1-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-5}{x-1}=\frac{4(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{-2(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}-\frac{\sqrt{x}-5}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}$
$=\frac{4(\sqrt{x}-1)-2(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-5)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{1}{\sqrt{x}+1}$
Vậy B = $\frac{1}{\sqrt{x}+1}$
Câu 3.
Điều kiện \[x\ge 0\] và \[x\ne 1\]
\[G=\frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{x-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}-1}-\frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-(\sqrt{x}-1)=1\]
Câu 4.\[P=\frac{(2+\sqrt{x})(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}+\frac{(2-\sqrt{x})(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}=\frac{(x+\sqrt{x}-2)+(-x+\sqrt{x}+2)}{x-1}=\frac{2\sqrt{x}}{x-1}\]
Câu 5.
\[B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)-2\sqrt{x}-(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{x+\sqrt{x}-2\sqrt{x}-\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}\]\[=\frac{x-2\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{{{(\sqrt{x}-1)}^{2}}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\]
Câu 6.
\[A=(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}+\frac{2}{\sqrt{x}-2}):\frac{x+4}{\sqrt{x}+2}=(\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}+\frac{2(\sqrt{x}+2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}).\frac{\sqrt{x}+2}{x+4}\] \[=\frac{x-2\sqrt{x}+2\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}.\frac{\sqrt{x}+2}{x+4}=\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-4}\]
Câu 7.
ĐK:\[a\ge 0;a\ne 1\]
\[P=(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}+1}):\frac{a+1}{a-1}\]\[=\frac{\sqrt{a}+1-(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+1)}:\frac{a+1}{a-1}=\frac{2}{a-1}.\frac{a-1}{a+1}=\frac{2}{a+1}\]
Câu 8.
\[B=(\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2})\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}+2)+(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\frac{2}{\sqrt{x}+2}\]
Câu 9: \[A=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}-\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}=\frac{{{(\sqrt{a}+1)}^{2}}-{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}}{a-1}=\frac{a+2\sqrt{a}+1-a+2\sqrt{a}-1}{a-1}=\frac{4\sqrt{a}}{a-1}\]
Câu 10.
\[B=(\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}}):\frac{1}{x-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x}-(\sqrt{x}-1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}.\frac{x-\sqrt{x}}{1}=\frac{1}{x-\sqrt{x}}.\frac{x-\sqrt{x}}{1}=1\]
Câu 11. \[Q=\frac{\sqrt{x}-4+\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}.\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}+4)(\sqrt{x}-4)}.\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}-4}\]
Câu 12.
\[Q=\left[ \frac{\sqrt{x}-1+\sqrt{x}+1}{(\sqrt{x}-1)} \right].\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}.\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}-1}\]
Câu 13.
Với x > 0 có
\[P=(\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x}+1})(x\sqrt{x}+x)\]\[=\frac{\sqrt{x}+1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}.x(\sqrt{x}+1)=\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}.x.(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x}\]
Câu 14.
\[P=(\frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}}):(\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-1})=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}:\left( \frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)}-\frac{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)} \right)\]\[=\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)}{(a-1)-(a-4)}=\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}\]
Câu 15.
\[B=\frac{3}{\sqrt{x}-2}+\frac{4}{\sqrt{x}+2}-\frac{12}{x-4}=\frac{3(\sqrt{x}+2)+4(\sqrt{x}-2)-12}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}\]\[=\frac{7\sqrt{x}-14}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}=\frac{7(\sqrt{x}-2)}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}=\frac{7}{\sqrt{x}+2}\]
Câu 16.
\[A=(\frac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}-3).\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}=\frac{3\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)-(\sqrt{x}-1)-3(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\]
\[=\frac{3x+3\sqrt{x}-\sqrt{x}+1-3x+3}{x-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\]\[=\frac{2(\sqrt{x}+2)}{x-1}.\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}\]\[=\frac{2}{\sqrt{x}-1}\]
Câu 17. Ta có:
\[P=\left( \frac{4\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}-\frac{8x}{4-x} \right):\left( \frac{\sqrt{x}-4}{x+2\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}} \right)=\frac{4\sqrt{x}.(2+\sqrt{x})-8x}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}:\frac{\sqrt{x}-4+(\sqrt{x}+2)}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}\]
\[=\frac{-4x+8\sqrt{x}}{(2-\sqrt{x})(2+\sqrt{x})}:\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}=\frac{4\sqrt{x}}{2+\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}{2\sqrt{x}-2}=\frac{2x}{\sqrt{x}-1}\]
Vậy \[P=\frac{2x}{\sqrt{x}-1}\]
Câu 18.
Ta có: Điều kiện: a > 0, a ≠ 1, a ≠ 4
$P=\frac{\sqrt{a}-(\sqrt{a}-1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}:\frac{(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}-1)-(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-2)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)}$ $=\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}:\frac{(a-1)-(a-4)}{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)}=\frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a}-1)}.\frac{(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}-1)}{3}=\frac{\sqrt{a}-2}{3\sqrt{a}}$
Câu 19.
Với x>0;x\[\ne \]4 , biểu thức có nghĩa ta có:
\[A=(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}):\frac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}\]
\[=\frac{2(2\sqrt{x}+1)+3(\sqrt{x}-2)-(5\sqrt{x}-7)}{(\sqrt{x}-2)(2\sqrt{x}+1)}:\frac{2\sqrt{x}+3}{5\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}=\frac{2\sqrt{x}+3}{(\sqrt{x}-2)(2\sqrt{x}+1)}.\frac{5\sqrt{x}(\sqrt{x}-2)}{2\sqrt{x}+3}=\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}\]
