Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình
I . Cách làm và phương pháp giải:
Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:
Bước 1: - Chọn các ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số;
- Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các ẩn và các đại lượng đã biết.
- Lập hệ phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải hệ phương trình thu được.
Bước 3: Kiểm tra xem trong các nghiệm của hệ phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không thỏa mãn điều kiện của ẩn, trả lời.
II . Bài tập ví dụ :
Bài toán 1: Cho một số có hai chữ số. Nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số nhỏ hơn số đã cho là 27. Tổng của số đã cho và số mới tạo thành bằng 77. Tìm số đã cho.
Giải
Gọi chữ số hàng chục là x \[\left( x\in N*;x\le 9 \right)\]
Gọi chữ số hàng đơn vị là y \[\left( y\in N*;x\le 9 \right)\]
Số đã cho là 10x + y
Số mới là 10y + x
.png)
Vậy số đã cho là 52.
Bài toán 2 : Tìm hai chữ số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 780 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 4 và số dư là 30.
Giải
Gọi số tự nhiên lớn là x và số tự nhiên nhỏ là y ( 30 < y < x )
.png)
Vậy 630 là số tự nhiên lớn và 150 là số tự nhiên nhỏ.
Bài toán 3: Tính độ dài ban đầu hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Biết rằng nếu giảm mỗi cạnh góc vuông đi 2m thì diện tích tam giác giảm đi 12\[{{m}^{2}}\]. Nếu một cạnh góc vuông tăng 4m và cạnh góc vuông kia tăng 3m thì diện tích của tam giác đó tăng thêm 31\[{{m}^{2}}\].
Giải
Gọi độ dài ban đầu hai cạnh góc vuông lần lượt là x (m), y (m) ( x > 2; y > 2)
.png)
.png)
Vậy cạnh góc vuông ban đầu có độ dài lần lượt là 6m và 8m.
Bài toán 4: Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế ba học sinh thì sáu học sinh không có chỗ ngồi. Nếu xếp mỗi ghế bốn học sinh thì thừa một ghế. Hỏi có bao nhiêu ghế và bao nhiêu học sinh?
Giải
Gọi số ghế là x \[\left( x\in N* \right)\]
Gọi số học sinh là y \[\left( y\in N* \right)\]
.png)
Vậy phòng học có 10 ghế dài và 36 học sinh.
Bài toán 5: Hai đội công nhân cùng nhau làm chung một công việc và dự định làm xong trong 24 ngày. Họ cùng làm với nhau được 16 ngày thì đội thứ nhất được điều sang làm việc khác, đội thứ hai vẫn tiếp tục làm. Đội thứ hai tăng gấp đôi năng suất nên làm xong phần việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao nhiêu ngày xong công việc trên ( Với năng suất bình thường)?
Giải
Gọi thời gian đội thứ nhất làm một mình xong công việc là x ( ngày) ( x > 24 )
Do đó trong một ngày đội thứ nhất làm được \[\frac{1}{x}\]( công việc )
Gọi thời gian đội thứ hai làm một mình xong công việc là y ( ngày ) (y > 0 )
Do đó trong một ngày đội thứ hai làm được \[\frac{1}{y}\]( công việc )
.png)
Vậy : Đội thứ nhất làm một mình trong 42 ngày thì xong việc
Đội thứ hai làm một mình trong 56 ngày thì xong việc.
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Một oto dự định đi từ A đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 40km/h thì sẽ đến B chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 60km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ 20 phút so với dự định. Tính độ dài quãng đường AB và thời điểm oto xuất phát tại A?
Đáp án : 400km , 8h sáng
Bài 2 : Hai máy bơm nước vào ruộng. Nếu cho máy thứ nhất bơm suốt 8 giờ mới mở máy thứ hai cùng bơm thêm 4 giờ nữa thì đầy ruộng. Nếu cho máy bơm thứ nhất bơm suốt 10 giờ 30 phút mới mở máy thứ hai cùng bơm thêm 3 giờ nữa thì đầy ruộng. Nếu dùng một máy bơm thì phải bơm trong bao lâu mới đầy ruộng ?
Đáp án : - máy 1: 18h
- máy 2: 12h
Bài 3 : Cho tam giác vuông có chu vi bằng 120cm, cạnh huyền bằng 50cm. Tính diện tích tam giác vuông?
Đáp án : \[600c{{m}^{2}}\]
Bài 4: Mười hai người ăn 12 chiếc bánh. Mỗi người đàn ông ăn 2 chiếc, mỗi người đàn bà ăn nửa chiếc và mỗi em bé ăn phần tư chiếc bánh. Hỏi có bao nhiêu đàn ông, đàn bà và trẻ em?
Đáp án : - 5 đàn ông
- 1 đàn bà
- 6 em bé
Bài 5 : Có hai máy xúc thứ nhất và thứ hai. Thời gian máy xúc thứ nhất hoạt động một mình xong công việc nhiều hơn trường hợp cả hai máy cùng hoạt động xong công việc 8 giờ. Thời gian máy xúc thứ hai hoạt động một mình xong công việc nhiều hơn trường hợp cả hai máy cùng hoạt động 4 giờ 30 phút. Hỏi mỗi máy hoạt động một mình để làm công việc nói trên mất thời gian bao lâu ?
Đáp án : - máy 1 : 14h
- máy 2 : 10,5h
Bài 6: Một vận động viên thi bắn súng. Vận động viên đã bắn hơn 10 viên và đều bắn trúng các vòng 8, 9, 10 điểm. Tổng số điểm là 100 điểm. Hỏi vận động viên đã bắn bao nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Đáp án - 8đ (9 lần )
- 9đ(2 lần)
- 10đ( 1 lần)
Bài 7:Giả sử rằng giá bán của kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó, khi đem một viên kim cương cắt thành ba phần và vẫn bán với giá như trên ( đúng tỉ lệ trên) thì tổng số tiền thu được tăng hay giảm và trong trường hợp chia cắt nào thì sự sai biệt về giá lớn nhất?
