Liên hệ giữa phép chia và phép khai phương
I . Lí thuyết :
1 . Định lí : Với số a không âm và số b dương, ta có : \[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\]
2 . Khai phương một thương :
Quy tắc : Muốn khai phương một thương \[\frac{a}{b}\], trong đó số a không âm và số b dương, ta có thể lần lượt khai phương số a và số b, rồi lấy két quả thứ nhất chia cho kết quả thứ hai.
3 . Chi hai căn thức bậc hai :
Quy tắc : Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho căn bậc hai của số b dương, ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.
Chú ý : Với biểu thức A không âm và B dương, ta có : \[\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}\].
II . Bài tập ví dụ :
Ví dụ 1: Áp dụng quy tắc khai phương một thương, hãy tính:
a, \[\sqrt{\frac{256}{225}}\];
b, \[\sqrt{\frac{19,6.6,4}{1,69}}\].
Giải
\[a,\sqrt{\frac{256}{225}}=\frac{\sqrt{256}}{\sqrt{225}}=\frac{16}{15}.\]
\[b,\sqrt{\frac{19,6.6,4}{1,69}}=\sqrt{\frac{196.64}{169}}=\frac{\sqrt{12544}}{\sqrt{169}}=\frac{112}{13}.\]
Ví dụ 2: Thực hiện phép tính:
\[A=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{7}}+\sqrt{\frac{5}{13}}+1}+\frac{1}{\sqrt{\frac{7}{13}}+\sqrt{\frac{7}{5}}+1}+\frac{1}{\sqrt{1\frac{6}{7}}+\sqrt{2\frac{3}{5}}+1}\]
Giải
\[A=\frac{1}{\sqrt{5}.\left( -\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{13}}+\frac{1}{\sqrt{5}} \right)}+\frac{1}{\sqrt{7}.\left( \frac{1}{\sqrt{13}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}} \right)}+\frac{1}{\sqrt{13}.\left( \frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{13}} \right)}\]
\[=\frac{\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{13}}}{\frac{1}{\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{13}}}=1.\]
Ví dụ 3: Cho biểu thức \[P=\frac{\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}+\sqrt{x-4\sqrt{x-4}}}{\sqrt{\frac{16}{{{x}^{2}}}-\frac{8}{x}+1}}\]
Rút gọn P, rồi tìm giá trị của x để P đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải
.png)
- Xét : 4 < x < 8 , ta có \[A=\frac{4(x-4)+16}{x-4}=4+\frac{16}{x-4}>8\]
- Xét : x \[\ge \] 8 , ta có \[A=2\left( \sqrt{x}-4+\frac{4}{\sqrt{x-4}} \right)\ge 2,2\sqrt{\sqrt{x-4}.\frac{4}{\sqrt{x-4}}}=8.\]
Dấu đẳng thức xảy ra < = > \[x-4=\frac{4}{\sqrt{x-4}}\Leftrightarrow x=8\,\,(TM).\]
Ví dụ 4: Chứng minh rằng: \[\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=1\]
Giải
\[\frac{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}}+\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}}=\frac{4+2\sqrt{3}}{2(2+\sqrt{4+2\sqrt{3}})}+\frac{4-2\sqrt{3}}{2(2-\sqrt{4-2\sqrt{3}})}\]
\[=\frac{{{(\sqrt{3}+1)}^{2}}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}+\frac{{{(\sqrt{3}-1)}^{2}}}{2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{2\sqrt{3}}(\sqrt{3}+1+\sqrt{3}-1)=1.\]
III . Bài tập tự luyện :
Bài 1: Áp dụng quy tắc chia hai căn bậc hai, hãy tính : \[\frac{\sqrt{117}}{\sqrt{52}}\].
Bài 2: Tính: \[\sqrt{\frac{6,{{8}^{2}}-3,{{2}^{2}}}{21,{{8}^{2}}-18,{{2}^{2}}}}\].
Bài 3 : Tính : \[(7\sqrt{48}+3\sqrt{27}-2\sqrt{12}):3\sqrt{3}\].
Bài 4: Giải phương trình:\[\sqrt{3}.x-\sqrt{48}=0\].
Bài 5: Cho -1 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của \[A=\frac{5-3x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}\].
Bài 6: a, Với những giá trị của x thỏa mãn điều kiện \[x\ge -\frac{1}{2}\], hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[f(x)=\sqrt{2{{x}^{2}}+5x+2}+2\sqrt{x+3}-2x\]
b, Cho a > 0, b > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[A=\frac{(x+a)(x+b)}{x}\,\,\,\,\,(x>0)\]
