Phương pháp chứng minh tiếp tuyến của đường tròn

Các phương pháp chứng minh tiếp tuyến

I . Phương pháp chứng minh :

Để chứng minh đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) ta dùng các cách sau đây:

Cách 1 : Chứng minh khoảng cách từ O đến d bằng R. Hay nói cách khác ta vẽ \[OH\bot d\], chứng minh \[OH=R\].

Cách 2: Nếu biết d và (O) có một giao điểm là A, ta chỉ cần chứng minh \[OA\bot d\].

Trên đây là hai cách chủ yếu, ngoài ra còn có các cách sau.

Cách 3: Cách này dựa trên bài toán phụ sau:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tia Ax thỏa \[\widehat{xAB}=\widehat{ACB}\] (Ax cùng phía với tia AC đối với đường thẳng AB). Khi đó Ax là tia tiếp tuyến của (O).

Cách này thường dùng để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Cách 3 trên là một ví dụ cho phương pháp chứng minh trùng khít – một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các bài toán đảo. Và phương pháp này cũng được dùng nhiều trong các bài toán chứng minh tiếp tuyến.

II . Bài toán ví dụ:

Bài toán 1:Cho đường tròn (O) đường kính AB. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) . Tiếp tuyến của (O) tại C cắt AB tại D.Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với phân giác góc ODC, đường này cắt CD tại M. Chứng minh rằng đường thẳng d qua M song song với AB luôn tiếp xúc với (O) khi C thay đổi.

Giải:

Ta thấy rằng đường thẳng d và (O) chưa có giao điểm nào, do đó ta dùng cách 1 để giải bài toán này.

Vẽ \[OH\bot d(H\in d)\]. Ta cần chứng minh OH = OC.

Ta có tam giác DMO cân tại D, suy ra \[\widehat{DMO}=\widehat{DOM}\]. Mà \[\widehat{HMO}=\widehat{DOM}\](So le trong).

Nên ta có \[\widehat{DMO}=\widehat{HMO}\].

Từ đó ta có \[\Delta CMO=\Delta HMO\], suy ra OH = OC. Vậy d là tiếp tuyến của (O).

Bài toán 2: Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. BF và CE cắt nhau tại I. Gọi M là trung điểm AI. Chứng minh: MF là tiếp tuyến của (O).

Giải

Ta thấy F là giao điểm của MF và (O). Ta sẽ sử dụng cách 2 để chứng minh. Tức là ta cần chứng minh \[\widehat{MFO}=90{}^\circ \].

Ta chứng minh được I là trực tâm của tam giác ABC.

Trong tam giác vuông AFI có FM là trung tuyến nên MF = FA = BI, suy ra tam giác MFA cân tại M, suy ra \[\widehat{MFA}=\widehat{FAM}\].

Ta cũng có:

\[\widehat{CFO}=\widehat{OCF}\]

(Tam giác OCF cân tại O).

Từ đó: \[\widehat{MFA}+\widehat{CFO}=\widehat{FAM}+\widehat{OCF}=90{}^\circ \]. Suy ra \[\widehat{MFA}=90{}^\circ \] . Vậy \[FO\bot FM,F\in (O)\] nên MF là tiếp tuyến của (O).

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Ax, By là hai tiếp tuyến của (O) (Ax ,By cùng phía đối với đường thẳng AB). Trên Ax lấy điểm C, trên By lấy điểm D sao cho AC.BD = \[\frac{1}{4}.A{{B}^{2}}\] . Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm (O).

Bài 2: Cho nửa đường tròn đường kính AB. Trên đoạn AB lấy điểm M, gọi H là trung điểm AM. Đường thẳng qua H vuông góc với AB cắt (O) tại C. Đường tròn đường kính MB cắt CB tại I. Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính MI.

Bài 3: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, M là một điểm trên đoạn OB. Đường thẳng qua M vuông góc với AB tại M cắt (O) tại C và D, AC cắt BD tại P, AD cắt BC tại Q, AB cắt PQ tại I. Chứng minh IC và ID là tiếp tuyến của (O).

Bài 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, A thuôc nửa đường tròn. Vẽ \[CH\bot AB(H\in AB)\]. M là trung điểm CH, BM cắt tiếp Ax của (O) tại P. Chứng minh PC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 5: Cho tam giác đều ABC cạnh a ngoại tiếp đường tròn (O). Trên các cạnh AB và AC lấy các điểm M, N sao cho chu vi tam giác AMN bằng a. Chứng minh MN tiếp xúc với (O).

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính BC ( AB < AC), T là một điểm thuộc đoạn OC. Đường thẳng qua T vuông góc với BC cắt AC tại H và cắt tiếp tuyến tại A của (O) tại P, BH cắt (O) tại D. Chứng minh PD là tiếp tuyến của (O).

Bài 7: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Phân giác góc BAC cắt BC tại D và cắt (O) tại M. Chứng minh BM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Bài 8: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là hai tiếp tuyến ). Gọi D là điểm đối xứng của B qua O, AD cắt (O) tại E. Chứng minh OA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACE.