phương trình bậc 2 một ẩn

Câu 1:

Cho phương trình\[m{{x}^{2}}\text{ }2\left( m+2 \right)x+9=0\] . Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

Câu 2:

Cho phương trình \[{{x}^{2}}+\text{ }\left( a+b+c \right)x\text{ }+\text{ }ab\text{ }+\text{ }bc\text{ }+\text{ }ca\text{ }=\text{ }0\] trong đó a, b, c là ba cạnh của tam giác. Chứng minh phương trình vô nghiệm.

Câu 3:

Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn \[ab\text{ }+\text{ }2\left( b+d+c \right)=c\left( a+b \right)\] chứng minh rằng một trong ba phương trình sau đây có it nhất một phương trình có nghiệm

\[{{x}^{2}}-ax+b=0~,\text{ }{{x}^{2}}-bx+c=0\text{ },\text{ }{{x}^{2}}-cx\text{ }+d=0.\]

Câu 4:

Tìm các giá trị của a để hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

Câu 5:

Cho phương trình \[{{x}^{2}}+mx+n=0~\left( 1 \right)\] với m,n là những số nguyên.

a) Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có nghiệm hữu tỉ thì nghiệm đó là số nguyên.

b) Tìm nghiệm hữu tỉ của phương trình khi n=3

Câu 6:

Cho phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có các hệ số a,b,c là các số nguyên lẻ. Chứng minh rằng phương trình nếu có nghiệm thì các nghiệm ấy không thể là số hữu tỉ.

Câu 7:

Xác định m để hai phương trình \[{{x}^{2}}-mx+2m+1=0\] và \[m{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x-1=0~~\] có nghiệm chung.

Câu 8:

Giải phương trình: \[\left( {{x}^{2}}+3x+1 \right)\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)-6=0\]

Câu 9:

Cho biết đa thức bậc hai \[P\left( x \right)\] có 3 nghiệm số phân biệt \[\alpha ;\beta ;\gamma \] . Chứng minh rằng \[P\left( x \right)=0\] với mọi x.

Câu 10:

Cho phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có hai nghiệm dương phân biệt \[{{x}_{1}};\text{ }{{x}_{2}}\].Chứng minh:

Phương trình \[c{{t}^{2}}+bt+1=0\] cũng có hai nghiệm dương \[{{t}_{1}};{{t}_{2}}\]
Chứng minh \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{t}_{1}}+{{t}_{2}}\ge 4\]

Câu 11:

Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm và tính các nghiệm ấy theo m: \[x+\left| {{x}^{2}}-2x+m \right|=0\]

Câu 12:

Chứng minh rằng nếu \[a+b\ge 2\] thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm \[{{x}^{2}}+2ax+b=0;\text{ }{{x}^{2}}+2bx+a=0\]

Câu 13:

Cho hai phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\text{ }\left( 1 \right)\text{ }a\ne 0\text{ };\text{ }m{{x}^{2}}+nx+p=0\text{ }\left( 2 \right)\text{ }m\ne 0\] . Chứng minh rằng nếu ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm thì phương trình sau luôn luôn có nghiệm \[\left( an-mb \right){{x}^{2}}+2\left( ap-mc \right)x+bp-nc=0\]

Câu 14:

Cho ba số a,b,c thỏa mãn \[a>b>c\] và \[a+b+c=12\] . Chứng minh rằng một trong ba phương trình sau\[:\text{ }{{x}^{2}}+ax+b=0\text{ }\left( 1 \right);\text{ }{{x}^{2}}+bx+c=0\text{ }\left( 2 \right);\text{ }{{x}^{2}}+cx+a=0\text{ }\left( 3 \right),\] có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm.

Câu 15:

Cho tam thức bậc hai \[f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c~\] thỏa mãn điều kiện \[\left| f\left( x \right) \right|\le 1\] với mọi

\[~x\epsilon \left\{ -1;1 \right\}.\] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[A=4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}\]

Câu 16:

Giả sử ${{x}_{0}}$là nghiệm của phương trình bậc hai \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\]

Đặt $M=\max \left\{ \left| \frac{c}{a} \right|;\left| \frac{b}{a} \right| \right\}$ Chứng minh rằng \[\left| {{x}_{0}} \right|\le 1+M\]

lời giải chi tiết

Câu 1:

Phương trình \[m{{x}^{2}}-\text{ }2\left( m+2 \right)x+9=0\text{ }\left( * \right).\] Ta xét các trường hợp sau:

Trường hợp 1\[:\text{ }m=0\] . Phương trình (*) trở thành $-4x+9=0\Rightarrow x=\frac{9}{4}$

Vậy với \[m=0\] thì phương trình có nghiệm duy nhất là \[x=\frac{9}{4}\]

Trường hợp 2: \[m\ne 0\] . Khi đó (*) là phương trình bậc hai ẩn x

$\Delta '={{(m+2)}^{2}}-9m={{m}^{2}}-5m+4$

Phương trình có nghiệm duy nhất khi \[\Delta =0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+4=0\]

$m=1$ hoặc $m=4$ ( thỏa mãn đk $m\ne 0$ )

Vậy \[m=0;m=1;m=4\] thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Câu 2:

Phương trình bậc hai đã cho:

\[{{x}^{2}}+\left( a+b+c \right)x+ab+bc+ca=0\]

Có:\[\Delta =~{{\left( a+b+c \right)}^{2}}-4\left( ab+bc+ca \right)\text{ }=~{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2\left( ab+bc+ca \right)\]

Do a,b,c là các cạnh của tam giác nên ta có:

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta được:

Phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 3:

Giả sử cả ba phương trình đều vô nghiệm. Khi đó ta có ngay:

Từ đây suy ra:

$ab+2\left( b+c+d \right)>ab+\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}=\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}\left( 1 \right)$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

$\frac{{{(a+b)}^{2}}+{{c}^{2}}}{2}$≥$\frac{2\sqrt{{{(a+b)}^{2}}.{{c}^{2}}}}{2}=c\left( a+b \right)$ $$ (2)

Từ (1) và (2) ta có \[ab+2\left( b+c+d \right)\text{ }>c\left( a+b \right),\] mâu thuẫn với đề bài.

Vậy luôn tồn tại ít nhất một trong ba phương trình có nghiệm.

Câu 4:

Trừ theo vế hai phương trình trên ta được \[\left( a-1 \right){{x}_{0}}+8-a=0\]

Nếu \[a\ne 1\] thì ${{x}_{0}}=\frac{a-8}{a-1}$ . Thay vào (2) ta có:

\[{{\left( \frac{a-8}{a+8} \right)}^{2}}+\frac{a-8}{a+8}+a=0\Leftrightarrow {{a}^{3}}-24a+72=0\]

\[\Leftrightarrow \left( a+6 \right)\left( {{a}^{2}}-6a+12 \right)=0\Leftrightarrow a=-6\] Với \[a=-6~\] hai phương trình ban đầu trở thành \[{{x}^{2}}-6x+8=0\] và \[{{x}^{2}}+x-6=0\] . Cả hai phương trình này đều nhận 2 làm nghiệm.

Nếu a=1 thì hai phương trình ban đầu trở thành \[{{x}^{2}}+x+8=0\] và \[{{x}^{2}}+x+1=0\] . cả hai phương trình này đều vô nghiệm.

Vậy hai phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm chung khi và chỉ khi \[a=-6\] .

Câu 5:

Nếu (1) có nghiệm \[x=0~\] thì ta có điều phải chứng minh.
Nếu (1) có nghiệm hữu tỉ $x=\frac{a}{b}\ne 0$ với \[a\in Z,\text{ }a\ne 0,\text{ }b\epsilon \text{ }{{N}^{*}},\text{ }\left( \left| a \right|,b \right)=1.\]

Thay vào (1) ta được${{\left( \frac{a}{b} \right)}^{2}}+m.\frac{a}{b}+n=0$

\[\Rightarrow {{a}^{2}}=\text{ }-mab-n{{b}^{2}}=\text{ }-b\left( ma+mb \right).\]
Suy ra \[{{a}^{2}}\vdots ~b\] , ta lại có \[\left( \left| a \right|,b \right)=1~\]nên \[b=1~\] . Do đó x là số nguyên.
b) Với n=3 (1) trở thành\[:~~~{{x}^{2}}+mx+3=0~~~~~~~~~\](2)
Ta có \[\Delta ={{m}^{2}}-12.\]
(2) có nghiệm hữu tỉ ⇔∆ là số chính phương, tức là:

\[{{m}^{2}}-12={{k}^{2}}\left( k\epsilon N \right)\Leftrightarrow \left( m+k \right)\left( m-k \right)=12\]
Ta thấy (m+k) và (m-k) đều là ước của 12, hiệu của chúng bằng 2k là số chẵn nên chúng phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Do tích của chúng là số chẵn nên chúng cùng chẵn. Chú ý rằng \[m+k>m-k~~\] nên chỉ có hai trường hợp:

Trường hợp đầu cho m=4. Phương trình (2) là \[{{x}^{2}}+4x+3=0\] , nó có nghiệm \[x=-1\] hoặc $x=-3$
Trường hợp sau cho m=-4 . Phương trình (2) là \[{{x}^{2}}-4x+3=0~\] , nó có nghiệm x=1 hoặc x=3.
Kết luận: Khi n=3 thì:
+ Với m=4, phương trình (2) có nghiệm hữu tỉ là -1 và -3.
+ Với m=-4 , phương trình (2) có nghiệm hữu tỉ là 1 và 3.
+ Với $m\ne \pm 4$ , phương trình (2) không có nghiệm hữu tỉ.

Câu 6:

Trước hết ta chứng minh mệnh đề: "Số chính phương lẻ chia 8 dư 1"
Thật vậy, xét số chính phương lẻ\[~{{m}^{2}}\left( m\epsilon Z \right),~\] m là số lẻ, đặt \[m=2n+1\left( n\epsilon N \right).\]
Ta có \[{{m}^{2}}={{\left( 2n+1 \right)}^{2}}=4{{n}^{2}}+4n+1=4n\left( n+1 \right)+1\] chia cho 8 dư 1.
Quay lại bài toán, phương trình đã cho nếu có nghiệm hữu tỉ thì \[\Delta ={{b}^{2}}-4ac\text{ }~\]phải là số chính phương.
Nhưng do a,b,c lẻ nên dễ thấy \[\Delta ={{b}^{2}}-4ac\text{ }~\]chia 8 dư 5, nên ∆ không thể là số chính phương.
Vậy phương trình đã cho không thể có nghiệm hữu tỉ.

Câu 7:

Gọi x₀ là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, khi đó ta có:
\[~{{x}^{2}}-mx+2m+1=0\left( 1 \right)\] và

\[m{{x}^{2}}-\left( 2m+1 \right)x-1=0~~~~\left( 2 \right).\]
Cộng hai vế của hai phương trình trên ta được:
\[\left( m+1 \right)~-\left( 3m+1 \right){{x}_{0}}+2m=0\text{ }\left( * \right)\]
* Xét \[m=-1~\] ta có (*) trở thành: \[2{{x}_{0}}-2=0~\] hay \[{{x}_{0}}=-1\] .
Khi đó, thay \[m=-1~,\text{ }{{x}_{0}}=1\] vào (1) ta có:\[1+1+\left( -2 \right)+1=0~~\] hay \[1+0~\] (vô lí, loại).
* Xét \[m\ne -1~\] , ta có phương trình (*) là phương trình bậc 2 có:

\[\Delta ={{\left( 3m+1 \right)}^{2}}\left( m+1 \right)2m={{\left( m-1 \right)}^{2}}\Rightarrow {{x}_{0}}=1\] hoặc ${{x}_{0}}=\frac{2m}{m+1}$ .
+ Nếu \[{{x}_{0}}=1~\] là nghiệm chung của hai phương trình đã cho, thay \[{{x}_{0}}=1~\] vào (1), ta có:

\[1-m+2m+1=0\Leftrightarrow m+2=0\Leftrightarrow m=-2\]
Thay \[m=-2,{{x}_{0}}=1~\] vào (2) ta có\[:\text{ }-2+3-1=0~~\] (luôn đúng)
Ngược lại, với m=-2 hai phương trình đã cho trở thành:
\[{{x}^{2}}+2x-3=0~\left( 3 \right)\] và \[-2{{x}^{2}}+3x-1=0\left( 4 \right)\]
Dễ thấy phương trình (3) có hai nghiệm 1 và -3
Phương trình (4) có hai nghiệm 1 và $\frac{1}{2}$ (thỏa mãn).
Như vậy, hai phương trình đã cho có nghiệm chung \[{{x}_{0}}=1~\] khi và chỉ khi \[m=-2.~\]
+ Nếu ${{x}_{0}}=\frac{2m}{m+1}$ là nghiệm chung của hai phương trình đã cho.
Thay ${{x}_{0}}=\frac{2m}{m+1}$ vào (1) ta có:
$\frac{4{{m}^{2}}}{{{(m+1)}^{2}}}-\frac{2{{m}^{2}}}{m+1}+2m+1=0$

\[\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-2{{m}^{2}}\left( m+1 \right)\text{ }+\left( 2m+1 \right){{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\] \[\Leftrightarrow 7{{m}^{2}}+4m+1=0\]
Phương trình \[7{{m}^{2}}+4m+1=0~\] có nên \[\Delta =-3<0\] phương trình vô nghiệm. (loại)
Vậy, hai phương trình đã cho có nghiệm chung 1 khi và chỉ khi \[m=-2\]

Câu 8

Đặt \[{{x}^{2}}+3x+1=a\] . Khi đó ta có \[a\left( a+1 \right)-6=0\]

\[\Leftrightarrow {{a}^{2}}+a-6=0\] Do đó a=2 và \[a=-3\]

Giải các trường hợp

+ $a=2$ thì $x=\frac{-3\pm \sqrt{13}}{2}$

+ \[a=-3\] thì phương trình vô nghiệm

Kết luận phương trình có hai nghiêm

Câu 9:

Ta có:

Đặt :

Cho (giả thiết)

Cho vì

Cho vì \[\gamma \ne \alpha ,\gamma \ne \beta \Rightarrow a=0\]

Vậy \[P\left( x \right)=\text{ }0\] với mọi x

Câu 10:

Vì x₁ là nghiệm của phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] nên \[\text{ax}_{1}^{2}+b{{x}_{1}}+c=0\]

Vì \[{{x}_{1}}>0\] ⇒ $c.{{\left( \frac{1}{{{x}_{1}}} \right)}^{2}}+b.\frac{1}{{{x}_{1}}}+a=0$ .Chứng tỏ $\frac{1}{{{x}_{1}}}$ là một nghiệm dương của phương trình \[c{{t}^{2}}+bt+a=0;\]${{t}_{1}}=\frac{1}{{{x}_{1}}}$ .

Tương tự:

Vì x₂ là nghiệm của phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] ⇒ \[\text{ax}_{2}^{2}+b{{x}_{2}}+c=0\]. Vì \[{{x}_{2}}>0\] nên $c.{{(\frac{1}{{{x}_{2}}})}^{2}}+b.\frac{1}{{{x}_{2}}}+a=0$. Chứng tỏ $\frac{1}{{{x}_{2}}}$ là một nghiệm dương của phương trình \[c{{t}^{2}}+bt+a=0;\] ${{t}_{2}}=\frac{1}{{{x}_{2}}}$

Vậy nếu phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0\] có hai nghiệm dương phân biệt \[{{x}_{1}};{{x}_{2}}\] thì phương trình \[c{{t}^{2}}+bt+a=0\] cũng có hai nghiệm dương phân biệt \[{{t}_{1}};{{t}_{2}}.\]

Do \[{{x}_{1}},{{x}_{2}},{{t}_{1}},{{t}_{2}}\] đều là những nghiệm dương nên

${{t}_{1}}+{{x}_{1}}={{x}_{1}}+\frac{1}{{{x}_{1}}}\ge 2$

${{t}_{2}}+{{x}_{2}}={{x}_{2}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}\ge 2$

Do đó \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{t}_{1}}+{{t}_{2}}\ge 4\]

Câu 11:

Ta có \[x+\left| {{x}^{2}}-2x+m \right|=0\Leftrightarrow \left| {{x}^{2}}-2x+m \right|=-x\]

+ Xét m>0. Nếu (1); (2) có nghiệm thì các nghiệm đều dương không thỏa mãn \[x\le 0\]

+ xét m=0 (1) có nghiệm 0 và 1; (2) có nghiệm 0 và 3. Nhận x=0

+ Xét m<0 phương trình đã cho có bốn nghiệm hai nghiệm dương và hai nghiệm âm thỏa mãn điều kiện \[x\le 0\]

Hai nghiệm âm là : $x=\frac{3-\sqrt{9-4m}}{2}$ ; $x=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}$

Tóm lại \[m\le 0\] thì phương trình có nghiệm:

$x=0;x=\frac{3-\sqrt{9-4m}}{2}$ ; $x=\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}$

Câu 12:

Do đó trong hai số \[{{\Delta }_{1}}^{};\text{ }{{\Delta }_{2}}^{}\] có ít nhất một số không âm.

Vậy ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 13:

Xét các phương trình \[a{{x}^{2}}+bx+c=0~\left( 1 \right)\]

\[M{{x}^{2}}+nx+p=0~~~\left( 2 \right)~~\left( a,m\ne 0 \right)\] Và \[\left( an-bm \right){{x}^{2}}+2\left( ap-mc \right)x+bp-nc=0~~\left( 3 \right)s\] Do giả thiết bài toán ít nhất một trong hai phương trình (1) hoặc (2) vô nghiệm, giả sử (1) vô nghiệm nhưu vậy \[{{b}^{2}}-4ac\text{ }<0\]

Đặt \[A=\text{ }an-bm\]

\[B=\text{ }ap-mc\]

\[C=bp-cn,~\] ta có;

\[cA-bB-aC=can-bcm-abp+\text{ }bmc+abp-anc=0\text{ }\left( * \right)\] Khi đó (3) trở thành \[A{{x}^{2}}+2Bx+C=0\text{ }\left( 4 \right)\] Nếu A=0 từ (*) có \[aC-bB=0\] ⇔ $C=\frac{b}{a}B$

(4) trở thành \[2Bx\text{ }+C=0\Leftrightarrow 2Bx+=0\]

B=0 ta có x tùy ý ⇒(3) có nghiệm

B≠0 ta có $x=-\frac{b}{2a}$ ⇒ (3) có nghiệm.

Nếu \[A\ne 0\] . Ta có \[\Delta \text{ }=\text{ }{{B}^{2}}-AC\]

\[AC\le 0\Rightarrow \Delta \text{ }\ge 0\Rightarrow \left( 3 \right)\] có nghiệm
\[AC>0\] do \[{{b}^{2}}-4ac\text{ }<0\Rightarrow {{b}^{2}}<\text{ }4ac\Rightarrow {{b}^{2}}.AC<\text{ }4ac.AC\]

Từ (*) có \[bB=cA+aC\]

\[{{b}^{2}}{{B}^{2}}={{\left( cA+aC \right)}^{2}}\ge \text{ }4acAC\text{ }>{{b}^{2}}AC\]

suy ra

Như vậy \[\Delta \text{ }>0\] ⇒ (3) có nghiệm

Trường hợp phương trình (2) vô nghiệm, chứng minh tương tự như các bước giải trên cũng được (3) có nghiệm

Với giả thiết bài toán thì phương trình (3) luôn luôn có nghiệm.

Câu 14:

Từ \[a>b>c\text{ }v\grave{a}\text{ }a+b+c=12\Rightarrow 3a>a+b+c=12>3c\Rightarrow a>4>c\]

\[{{\Delta }_{1}}={{a}^{2}}-4b>4a-4b=4\left( a-b \right)\text{ }>0\] ⇒ phương trình \[{{x}^{2}}+ax+b=0\] có nghiệm.

\[{{\Delta }_{2}}=\text{ }{{c}^{2}}-\text{ }4a>4c-4a=4\left( c-a \right)\text{ }<0\] ⇒ phương trình \[{{x}^{2}}+cx+a=0\] vô nghiệm.

Câu 15:

Từ điều kiện \[\left| f\left( x \right) \right|\le 1\] với mọi \[x\epsilon \text{ }\left\{ -1;1 \right\}\] ta có:

\[\left| f\left( 0 \right)-f\left( 1 \right) \right|\text{ }\le 2\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\le 4;\text{ }\left| f\left( 0 \right)-f\left( -1 \right) \right|\text{ }\le 2\Rightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\le 4\] Mặt khác \[4{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}=2{{\left( a+b \right)}^{2}}+2{{\left( a-b \right)}^{2}}{{b}^{2}}\le 4\] Vậy max A=16 khi và chỉ khi (a;b;c) nhận giá trị \[\left( 2;0;-1 \right)\] hoặc \[\left( -2;0;1 \right)\]

Câu 16:

Nếu \[\left| {{x}_{0}} \right|\text{ }\le 1\] thì hiển nhiên. Nếu \[\left| {{x}_{0}} \right|>1\] . Ta có \[b{{x}_{0}}+c=-a{{x}^{2}}\]

Do đó \[{{\left| {{x}_{0}} \right|}^{2}}=\text{ }\left| \frac{b}{a}{{x}_{0}}+\frac{c}{a} \right|\le \left| \frac{b}{a} \right|\left| {{x}_{0}} \right|+\left| \frac{c}{a} \right|\le M\left( \left| {{x}_{0}} \right|+1 \right)\]

Suy ra \[{{\left| {{x}_{0}} \right|}^{2}}-1\text{ }\le {{\left| {{x}_{0}} \right|}^{2}}\le M\left( \left| {{x}_{0}} \right|+1 \right)\] |

Nên: \[\left| {{x}_{0}} \right|\text{ }-1\text{ }\le M\] Hay \[\left| {{x}_{0}} \right|\le 1+M\]