Chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa là phương pháp thường hay sử dụng trong các bài toán chứng minh BĐT thong thường. Chúng ta cần kết hợp thêm các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học.
* Cấu trúc của phương pháp:
Để chứng minh A > B, ta xét hiệu A – B sau đó chứng minh A – B > 0 rồi kết luận.
Ví dụ 1: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Giải:
Xét biểu thức: M = a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca)
Suy ra 2M = 2 a2 + 2b2 + 2c2 – 2 ab – 2bc – 2 ca
= (a2 – 2ab + b2) + (b2 – 2bc + c2) + (c2 – 2ca + a2)
= (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2
Vì: (a – b)2 ≥ 0
(b – c)2 ≥ 0
(c – a)2 ≥ 0
Do đó (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0
Suy ra 2a2 + 2b2 + 2c2 – 2 ab – 2bc – 2 ca ≥ 0 hay a2 + b2 + c2 – (ab + bc + ca) ≥ 0
Vậy: a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Ví dụ 2: Cho a, b, c là 3 số tuỳ ý chứng minh rằng:
\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{3}{4}\ge a+b+c\]
Giải:
Xét biểu thức \[N={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{3}{4}-\left( a+b+c \right)\]
\[=\left( {{a}^{2}}-a+\frac{1}{4} \right)+\left( {{b}^{2}}-b+\frac{1}{4} \right)+\left( {{c}^{2}}-c+\frac{1}{4} \right)\]
\[={{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( c-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\]
Vì \[{{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\]; \[{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\]; \[{{\left( c-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\].
Do đó \[{{\left( a-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( b-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{\left( c-\frac{1}{2} \right)}^{2}}\ge 0\]
Suy ra \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{3}{4}-\left( a+b+c \right)\ge 0\]
\[\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{3}{4}\ge a+b+c\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[a=b=c=\frac{1}{2}\]
