ÔN TẬP HÌNH HỌC THI VÀO CẤP 3

A – HÌNH HỌC PHẲNG

I – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG

1. Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông:

a) \[A{{H}^{2}}=BH.CH\]\[\Rightarrow \] Bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

b) \[AH.BC=AB.AC\] \[\Rightarrow \] Tích hai cạnh góc vuông bằng tích cạnh huyền với đường cao tương ứng

c) \[A{{B}^{2}}=BC.BH\]; \[A{{C}^{2}}=BC.HC\]

\[\Rightarrow \]Bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với hình chiếu tương ứng của cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền.

d) \[\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{B}^{2}}}+\frac{1}{A{{C}^{2}}}\]

\[\Rightarrow \] Nghịch đảo bình phương đường cao bằng tổng nghịch đảo bình phương hai cạnh góc vuông.

2. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông

a) Các tỉ số lượng giác

\[\sin \alpha =\frac{AC}{BC},cos\alpha =\frac{AB}{BC}\] ; \[\tan \alpha =\frac{AC}{AB},\cot \alpha =\frac{AB}{AC}\]

Mẹo nhớ: “ Sin đi học; Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn”

b) Một số tính chất và đẳng thức lượng giác cần nhớ.

* Với góc \[\alpha \] nhọn và \[\left( {{0}^{0}}<\alpha <{{90}^{0}} \right)\] thì \[0<\sin \alpha \]; \[\cos \alpha <1\].

* \[\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\]

* \[\tan \alpha =\frac{1}{\cot g\alpha },\cot \alpha =\frac{1}{tg\alpha }\Rightarrow \tan \alpha .\cot \alpha =1\]

* \[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\]\[\Rightarrow \sin \alpha =\sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha };\cos \alpha =\sqrt{1-{{\sin }^{2}}\alpha }\]

(Các bạn nhớ chỉ được lấy giá trị dương vì tuân theo tính chất góc \[\alpha \] ở mục này)

* Với góc \[\alpha \] nhọn và \[\sin \alpha =\sin \beta \Leftrightarrow \alpha =\beta \]

\[1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha };1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\]

c) Mối quan hệ lượng giác của các góc phụ nhau

Nếu \[\alpha +\beta ={{90}^{0}}\] thì các giá trị lượng giác của \[\alpha \] và \[\beta \] chéo nhau, tức là:

\[\sin \alpha =\cos \beta ;\cos \alpha =\sin \beta ;\tan \alpha =\cot \beta ;cot\alpha =tan\beta \]

d) Hệ thức liên hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

\[b=a.\sin B=a.\cos C\]

\[c=a.\sin C=a.\cos B\]

\[b=c.\tan B=c.\cot C\]

\[c=b.\tan C=\cot B\]

Vậy , trong một tam giác vuông:

* Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với sin góc đối hoặc cos góc kề.

* Độ dài một cạnh góc vuông bằng tích của cạnh góc vuông còn lại với tan góc đối hoặc cot góc kề.

* Chú ý: Giải tam giác là khái niệm của việc đi tính số đo của các góc nhọn, đồ dài các cạnh của một tam giác vuông.

2. Góc và đường tròn

Đường tròn:

a) Định nghĩa:

Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trước một khoảng cách R > 0 không đổi gọi là đường tròn tâm 0 bán kính R . Kí hiệu : ( 0 ; R).

b) Vị trí tương đối

* Của một điểm với đường tròn: Xét (O; R) của điểm M bất kỳ

* Vị trí của một đường tròn với một đường tròn:

Xét (O;R) và đường thẳng a bất kỳ ( với d là khoảng cách từ tâm O đến đường thẳng a)

* Của hai đường tròn: Xét (O; R) và (O’; R’) ( với d = OO’)

c) Tiếp tuyến của đường tròn:

* Định nghĩa:

Đường thẳng d được gọi là tiếp tuyến của một đường tròn nếu nó chỉ một điểm chung với đường thẳng đó.

* Tính chất:

+ Tính chất 1: Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

+ Tính chất 2: Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểm này cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

* Cách chứng minh:

• Cách 1: chứng minh đường thẳng đó có một điểm chung với đường tròn đó.
• Cách 2: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với bán kính của tròn đó tại một điểm và điểm đó thuộc đường tròn.

d) Quan hệ giữa đường kính và dây cung:

* Định lý 1: Đường kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành hai phần bằng nhau.

* Định lý 2: Đường kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuông góc với dây cung ấy.

e) Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm:

* Định lý 1: Trong một đường tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đều tâm.

* Định lý 2: Trong hai dây cung không bằng nhau của một đường tròn, dây cung lớn hơn khi và chỉ khi nó gần tâm hơn.

Góc trong đường tròn:

1. Các loại góc trong đường tròn:

- Góc ở tâm;

- Góc nội tiếp;

- Góc có đỉnh ở bên trong hay bên ngoài đường tròn.

- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung.

2. Mối quan hệ giữa cung và dây cung.

* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:

a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trương hai cung bằng nhau.

* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đường tròn:

a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

b, Dây lớn hơn trương cung lớn hơn.

3. Tứ giác nội tiếp:

a, Định nghĩa:

Tứ giác nội tiếp một đường tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn . Đương tròn đó được gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác.

b, Cách chứng minh :

* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đường tròn

* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°

* Cách 3: chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dưới cùng một góc.

B. HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

1. Các vị trí tương đối:

a) Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

* a //b \[\Leftrightarrow a,b\subset \left( P \right)\], a và b không có điểm chung.

* a cắt b \[\Leftrightarrow a,b\subset \left( P \right)\], a và b có một điểm chung.

* a và b chéo nhau \[\Leftrightarrow \] a và b không cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (P):

* a // P \[\Leftrightarrow \] a và (P) không có điểm chung.

* a cắt (P) \[\Leftrightarrow \] a và (P) có một điểm chung.

* \[a\subset \left( P \right)\] \[\Leftrightarrow \] a và (P) có vô số điểm chung.

c) Vị trí tương đối của hai mặt phẳng (P) và (Q):

* (P) // (Q) \[\Leftrightarrow \] không có điểm chung.

* \[\left( P \right)\cap \left( Q \right)\]= a \[\Leftrightarrow \] có một đường thẳng a chung ( a gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng)

* \[\left( P \right)\equiv \left( Q \right)\].

2. Một số cách chứng minh:

a. Chứng minh hai đường thẳng song song:

Cách 1: a và b cùng thuộc một mặt phẳng, a và b không có điểm chung.

Cách 2: a // c và b // c

b. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng:

c. Chứng minh hai  mặt phẳng song song:

d. Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

e. Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:

g.  Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:

Công thức tính một số hình không gian:

BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI

Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:

1. Tứ giác CEHD nội tiếp.

2. Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

3. AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC

4. H và M đối xứng nhau qua BC. Xác định tam đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Hướng dẫn giải:

1. Xét tứ giác CEHD, ta có:

\[\angle CEH={{90}^{0}},\angle CDH={{90}^{0}}\] ( vì Be, AD là đường cao)

\[\Rightarrow \angle CEH+\angle CDH={{180}^{0}}\]

Mà \[\angle CEH\] và \[\angle CDH\] là hai góc đối của tứ giác CEHD, do đó tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp.

2. Theo giả thiết: BE là đường cao \[\Rightarrow \]\[BE\bot AC\]

\[\Rightarrow \angle BEC={{90}^{0}}\]

Có CF là đường cao \[\Rightarrow CF\bot AB\Rightarrow \angle BFC={{90}^{0}}\]

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc \[{{90}^{0}}\] \[\Rightarrow \] E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

3. Xét hai \[\Delta AEH\] và \[\Delta ADC\], ta có:

\[\angle AEH=\angle ADC={{90}^{0}}\]; góc A là góc chung \[\Rightarrow \Delta AEH\sim \Delta ADC\Rightarrow \frac{AE}{AD}=\frac{AH}{AC}\]

\[\Rightarrow AE.AC=AH.AD\]

* Xét hai \[\Delta BEC\] và \[\Delta ADC\], ta có:

\[\angle BEC=\angle ADC={{90}^{0}}\]; góc C là góc chung \[\Rightarrow \Delta BEC\sim \Delta ADC\Rightarrow \frac{BE}{AD}=\frac{BC}{AC}\]

\[\Rightarrow AD.BC=BE.AC\]

4. Ta có:

\[\angle {{C}_{1}}=\angle {{A}_{1}}\] ( vì cùng phụ với góc ABC)

\[\angle {{C}_{2}}=\angle {{A}_{1}}\] ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BM)

\[\Rightarrow \angle {{C}_{1}}=\angle {{C}_{2}}\Rightarrow CB\] là tia phân giác của góc HCM; lại có \[CB\bot HM\]

\[\Rightarrow \Delta CHM\] cân tại C

\[\Rightarrow CB\] cũng là đường trung trực của HM.

Vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

5. Theo chứng minh trên bốn điểm B, C,E,F cùng nằm trên một đường tròn

\[\Rightarrow \angle {{C}_{1}}=\angle {{E}_{1}}\] ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF)

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp.

\[\Rightarrow \angle {{C}_{1}}=\angle {{E}_{2}}\] ( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung HD)

\[\Rightarrow \angle {{E}_{1}}=\angle {{E}_{2}}\Rightarrow EB\] là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE, mà BE và CF cắt nhau tại H, do đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Bài viết gợi ý: