* Cấu trúc của phương pháp:
Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi sao cho:
A > B ⇔ …..⇔ C > D
Trong đó bất đẳng thức C >D là một BĐT đúng (được thừa nhận).
Từ đó đi đến kết luận.
Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu: Chứng minh rằng: \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\]
Giải
Giả sử: \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\] (1)
\[\Leftrightarrow \text{ }{{a}^{2}}+{{b}^{2}}~\ge 2ab\] (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)
\[\Leftrightarrow {{a}^{2}}\text{ }{{b}^{2}}\text{ }2ab\ge 0\]
\[\Leftrightarrow {{\left( ab \right)}^{2}}~\ge 0\] (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\] (với a và b cùng dấu)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 2: Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1. Chứng minh rằng: \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+ab\ge \frac{1}{2}\]
Giải:
Giả sử \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+ab\ge \frac{1}{2}\] (1)
⇔\[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+ab-\frac{1}{2}\ge 0\]
⇔\[(a+b)({{a}^{2}}+{{b}^{2}}-ab)+ab-\frac{1}{2}=0\]
⇔\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-\frac{1}{2}=0\] (vì a + b = 1)
⇔\[2{{a}^{2}}+2\text{ }{{b}^{2}}-1\ge 0\]
⇔\[2{{a}^{2}}+2{{\left( 1-a \right)}^{2}}1\ge 0~\] (vì b = 1- a)
⇔\[4{{a}^{2}}-4a+1\ge 0\]
⇔\[{{\left( 2a-1 \right)}^{2}}~\ge 0\] (2)
Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+ab\ge \frac{1}{2}\] (với a + b = 1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[a=b=\frac{1}{2}\]
Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\]
Giải
Giả sử: \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\](1)
\[\Leftrightarrow \frac{b+a}{ab}\ge \frac{4}{a+b}\]
\[\Leftrightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}\ge 4ab\] (vì a > 0 và b > 0)
\[\Leftrightarrow \text{ }{{a}^{2}}+2ab\text{ }{{b}^{2}}4ab\text{ }\ge 0\]
\[\Leftrightarrow \text{ }{{a}^{2}}2ab+{{b}^{2}}~\ge 0\]
\[\Leftrightarrow \text{ }{{\left( ab \right)}^{2}}~\ge 0~\] (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy: \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\] (với a > 0, b > 0)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 4 Cho a,b,x,y la các số thực. Chứng minh rằng \[{{\left( \text{ax+by} \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\]
Giải
Giả sử \[{{\left( \text{ax+by} \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\] (1)
⇔ \[{{\text{(ax)}}^{2}}+2axby+{{(by)}^{2}}\le ({{a}^{2}}+{{b}^{2}})({{x}^{2}}+{{y}^{2}})\]
⇔ \[{{\text{(ay)}}^{2}}+{{(bx)}^{2}}-2aybx\ge 0\]
⇔ \[{{(ay-bx)}^{2}}\ge 0\] (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy \[{{\left( \text{ax+by} \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[ay=bx\] hay \[\frac{a}{x}=\frac{b}{y}.\]
Ví dụ 5: Cho x, y là các số thực. Chứng minh rằng \[\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|\]
Giải
Giả sử \[\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|\] (1)
⇔ \[{{\left( \left| x \right|+\left| y \right| \right)}^{2}}\ge {{\left( \left| x+y \right| \right)}^{2}}\]
⇔ \[{{x}^{2}}+2\left| xy \right|+{{y}^{2}}\ge {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}\]
⇔ \[xy\ge \left| xy \right|\] (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy \[\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[xy\ge 0\]
Ví dụ 6: Cho a, b là hai số không âm. Chứng minh rằng \[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\]
Giải.
Giả sử \[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\] (1)
⇔ \[a+b\ge 2\sqrt{ab}\]
⇔ \[a+b-2\sqrt{ab}\ge 0\]
⇔ \[{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}\ge 0\] (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy \[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\] với \[a\ge 0\] và \[b\ge 0.\]
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \[a=b.\]
