1. Lý thuyết cần vận dụng:
+ Nếu A (x1,y1); B (x2,y2) \[\Rightarrow \] AB = \[\sqrt{{{({{x}_{1}}-{{x}_{2}})}^{2}}+{{({{y}_{1}}-{{y}_{2}})}^{2}}}\]
+ Với 3 điểm M, A, B bất kì ta có :
\[\left| MA-MB \right|\le AB\le MA+MB\]
2. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1: Cho f(x) = \[\left| \sqrt{{{x}^{2}}-4x+5}-\sqrt{{{x}^{2}}-10x+50} \right|\]
Hãy tìm giá trị lớn nhất của f(x)
Giải :
Ta có : f(x) = \[\left| \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+1}-\sqrt{{{(x-5)}^{2}}+{{5}^{2}}} \right|\]
Chọn trong mặt phẳng tọa độ 3 điểm : A (2 ;1) ; B( 5 ;5) ; M (x ;0)
Ta có: MA = \[\sqrt{{{(x-2)}^{2}}+1}\]; MB = \[\sqrt{{{(x-5)}^{2}}+{{5}^{2}}}\]
AB = \[\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}=5\]
Mặt khác ta có: \[\left| MA-MB \right|\le AB\]
Hay \[\left| \sqrt{{{(x-2)}^{2}}+{{1}^{2}}}-\sqrt{{{(x-5)}^{2}}+{{5}^{2}}} \right|\le 5\]
Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 khi và chỉ khi 3 điểm M, A, B thẳng hàng
Ta lại có phương trình của đường thẳng qua A và B là d = \[\frac{4}{3}x-\frac{5}{3}\]
D cắt ox tại M( \[\frac{5}{4}\] ; 0). Vậy giá trị lớn nhất của f(x) = 5 đạt tại x = \[\frac{5}{4}\]
Ví dụ 2 : Cho f(x) = \[\sqrt{5{{x}^{2}}+20}+\sqrt{5{{x}^{2}}-32x+64}+\sqrt{5{{x}^{2}}-40x+100}+\sqrt{5{{x}^{2}}-8x+16}\]
Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) (1)
Giải :
Ta có : \[\sqrt{5{{x}^{2}}+20}\]= \[\sqrt{{{(x-4)}^{2}}+{{(2x+2)}^{2}}}\]
\[\sqrt{5{{x}^{2}}-40x+100}\]= \[\sqrt{{{x}^{2}}+{{(2x-10)}^{2}}}\]
Chọn A ( 4, -2) ; B (x,2x) ; C ( 0 ;10)
\[\Rightarrow \] AB = \[\sqrt{{{(x-4)}^{2}}+{{(2x+2)}^{2}}}\] ; BC = \[\sqrt{{{x}^{2}}+{{(2x-10)}^{2}}}\] ; AC = 4\[\sqrt{10}\]
Ta có : AB + BC \[\ge \] AC
\[\Rightarrow \] \[\sqrt{5{{x}^{2}}+20}\] + \[\sqrt{5{{x}^{2}}-40x+100}\] \[\ge \] 4\[\sqrt{10}\](2)
Ta lại có : \[\sqrt{5{{x}^{2}}-32x+64}\]=\[\sqrt{{{x}^{2}}+{{(2x-8)}^{2}}}\]
\[\sqrt{5{{x}^{2}}-8x+16}\]= \[\sqrt{{{(x-4)}^{2}}+{{(2x)}^{2}}}\]
Chọn D (x, 8) ; E ( 0, 2x) ; F ( x – 4, 0)
DE = \[\sqrt{{{x}^{2}}+{{(2x-8)}^{2}}}\] ; EF = \[\sqrt{{{(x-4)}^{2}}+{{(2x)}^{2}}}\] ; DF = 4\[\sqrt{5}\]
Ta có : DE + EF \[\ge \] DF
\[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{{{x}^{2}}+{{(2x-8)}^{2}}}\]+\[\sqrt{{{(x-4)}^{2}}+{{(2x)}^{2}}}\]\[\ge \]4\[\sqrt{5}\](3)
Cộng (2) và (3) ta có :
VT \[\ge \] 4\[\left( \sqrt{5}+\sqrt{10} \right)\]
VT = 4\[\left( \sqrt{5}+\sqrt{10} \right)\] khi và chỉ khi 
\[\Leftrightarrow \] Giải điều kiện ta tìm được x = 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của f(x) = 4\[\left( \sqrt{5}+\sqrt{10} \right)\] tại x = 2
Nhận xét : Vận dụng phương pháp này để tìm cực trị của biểu thức, đòi hỏi người giải phải rất tinh tế khi chọn điểm để thỏa mãn những yêu cầu bài toán
Bài tập tham khảo :
Bài 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = \[\sqrt{{{x}^{2}}-2x+5}\] + \[\sqrt{{{x}^{2}}+2x+10}\]
Bài 2 : Tìm giá trị lớn nhất của f(x) = \[\sqrt{4{{x}^{2}}+2x+1}\] - \[\sqrt{4{{x}^{2}}-2x+1}\]
