Để chứng minh A > B ta dùng các tính chất của BĐT để biến đổi sao cho:
A > B \[\Leftrightarrow \] …..\[\Leftrightarrow \] C > D
Trong đó bất đẳng thức C >D là một BĐT đúng (được thừa nhận).
Từ đó đi đến kết luận.
Ví dụ 1: Cho a và b là hai số cùng dấu:
Chứng minh rằng: a.b+b.a \[\ge \] 2
Giải
Giả sử: a.b+b.a \[\ge \] 2 (1)
\[\Leftrightarrow \] a2 + b2 \[\ge \] 2ab (vì a và b cùng dấu nên ab > 0)
\[\Leftrightarrow \] a2 + b2 – 2ab \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] (a – b)2 \[\ge \] 0 (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng . Mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy a.b + b.a \[\ge \] 2 (với a và b cùng dấu)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Ví dụ 2:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 1.
Chứng minh rằng: a3 + b3 + ab \[\ge \] 12
Giải:
Giả sử a3 + b3 + ab \[\ge \] 12 (1)
\[\Leftrightarrow \] a3 + b3 + ab – 12 \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] (a + b)(a2 + b2 – ab) + ab – 12 \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] a2 + b2 – 12 \[\ge \] 0 (vì a + b = 1)
\[\Leftrightarrow \] 2a2 + 2 b2 – 1 \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] 2a2 + 2(1 – a)2 – 1 \[\ge \] 0 (vì b = 1- a)
\[\Leftrightarrow \] 4a2 – 4a + 1 \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] (2a – 1)2 \[\ge \] 0 (2)
Bất đẳng thức (2) là BĐT đúng, mặt khác các phép biến đổi trên là tương đương nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy a3 + b3 + ab \[\ge \] 12 (với a + b = 1)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = 12
Ví dụ 3: Cho a và b là hai số dương. Chứng minh rằng: \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\]
Giải
Giả sử: \[\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\] (1)
\[\frac{b+a}{ab}\ge \frac{4}{a+b}\]
\[\Leftrightarrow \] (a+b)2 \[\ge \] 4ab (vì a > 0 và b > 0)
\[\Leftrightarrow \] a2 + 2ab + b2 – 4ab \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] a2 – 2ab + b2 \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] (a – b)2 \[\ge \] 0 (2)
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng.
Vậy: 1a + 1b \[\ge \] 4a+b (với a > 0, b > 0)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b
Ví dụ 4: Cho a, b, x, y là các số thực. Chứng minh rằng ( ax + by)2 \[\le \] ( a2 + b2)(x2 + y2)
Giải:
Giả sử: ( ax + by)2 \[\le \] ( a2 + b2)(x2 + y2) (1)
\[\Leftrightarrow \] (ax)2 + 2 axby + (by)2 \[\le \] (ax)2 + (ay)2 + (bx)2 + (by)2
\[\Leftrightarrow \] (ay)2 + (bx)2 – 2 aybx \[\ge \] 0
\[\Leftrightarrow \] (ay – bx)2 \[\ge \] 0 (2)
Vì BDT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng
Vậy : ( ax + by)2 \[\le \] ( a2 + b2)(x2 + y2)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ay = bx hay \[\frac{a}{x}=\frac{b}{y}\]
Ví dụ 5: Cho x và y là các số thực. Chứng minh rằng \[\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|\]
Giải :
Giả sử \[\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|\] (1)
\[\Leftrightarrow \]\[{{(\left| x \right|+\left| y \right|)}^{2}}\ge {{(\left| x+y \right|)}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow \]\[{{x}^{2}}+2\left| xy \right|+{{y}^{2}}\ge {{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow \]\[\left| xy \right|\ge xy(2)\]
Vì BĐT (2) là một BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng
Vậy: \[\left| x \right|+\left| y \right|\ge \left| x+y \right|\]
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi và chỉ khi xy \[\ge \] 0
Ví dụ 6 : Cho a và b là hai số không âm. Chứng minh rằng : \[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\]
Giải :
Giả sử : \[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\] (1)
\[\Leftrightarrow \]\[a+b\ge 2\sqrt{ab}\]
\[\Leftrightarrow \]\[a+b-2\sqrt{ab}\ge 0\]
\[\Leftrightarrow \]\[{{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}\ge 0\]
Vì BĐT (2) là BĐT đúng nên BĐT (1) là BĐT đúng
Vậy :\[\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}\] với a \[\ge \] 0 và b \[\ge \] 0
Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi và chỉ khi a = b
