1. Các định nghĩa:
1.1. Định nghĩa giá trị lớn nhất ( GTLN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D:
M được gọi là GTLN của f(x,y,…) trên miền D nếu 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn :
1. \[f(x,y,...)\le M\] \[\forall (x,y,...)\in D\]
2. \[\exists ({{x}_{0}},{{y}_{0}},...)\in D\] sao cho \[f({{x}_{0}},{{y}_{0}}...)=M\]
Ký hiệu: M = Max f(x,y,…)=fmax với \[(x,y,...)\in D\]
1.2. Định nghĩa giá trị nhỏ nhất ( GTNN) của một biểu thức đại số cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D :
M được gọi là GTNN của f(x,y,…) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn :
1.\[f(x,y,...)\ge M\]\[\forall (x,y,...)\in D\]
2.\[\exists ({{x}_{0}},{{y}_{0}},...)\in D\] sao cho \[f({{x}_{0}},{{y}_{0}}...)=M\]
Ký hiệu: M = Min f(x,y,…)=fmin với \[(x,y,...)\in D\]
2. Các kiến thức thường dùng :
2.1 : Lũy thừa :
a) \[{{x}^{2}}\ge 0\] \[\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow {{x}^{2k}}\ge 0\]\[\forall x\in \mathbb{R},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow -{{x}^{2k}}\le 0\]
Tổng quát : \[{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2k}}\ge 0\]\[\forall x\in \mathbb{R},k\in \mathbb{Z}\Rightarrow -{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2k}}\le 0\]
Từ đó suy ra : \[{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2k}}+m\ge m\]\[\forall x\in \mathbb{R},k\in \mathbb{Z}\]
\[M-{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2k}}\le M\]
b) \[\sqrt{x}\ge 0\forall x\ge 0\Rightarrow {{\left( \sqrt{x} \right)}^{2k}}\ge 0\forall x\ge 0,k\in \mathbb{Z}\]
Tổng quát : \[{{\left( \sqrt{A} \right)}^{2k}}\ge 0\forall A\ge 0\] (A là 1 biểu thức)
2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối :
a) \[\left| x \right|\ge 0\] \[\forall x\in \mathbb{R}\]
b) \[\left| x+y \right|\le \left| x \right|+\left| y \right|\] nếu ‘ = ‘ xảy ra \[\Leftrightarrow \] x.y\[\ge \]0
c) \[\left| x-y \right|\ge \left| x \right|-\left| y \right|\] nếu ‘=’ xảy ra \[\Leftrightarrow \] x.y\[\ge \]0 và \[\left| x \right|\ge \left| y \right|\]
2.3. Bất đẳng thức cosi
\[\forall ai\ge 0\] \[i=\overline{1,n}:\frac{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{{a}_{1}}.{{a}_{2}}...{{a}_{n}}}\forall n\in N,n\ge 2\]
Dấu ‘=’ xảy ra \[\Leftrightarrow \] a1=a2=…=an
2.4. Bất đẳng thức bunhiacopxki
Với n cặp số bất kì a1,a2,…,an; b1,b2,…,bn ta có:
\[{{\left( {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}} \right)}^{2}}\le \left( {{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+...+{{a}_{n}}^{2} \right).({{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+...+{{b}_{n}}^{2})\]
Dấu ‘=’ xảy ra \[\Leftrightarrow \frac{{{a}_{i}}}{{{b}_{i}}}=const(i=\overline{1,n})\]
2.5. Bất đẳng thức Bernonlly:
Với \[a\ge 0\]: \[{{\left( 1+a \right)}^{n}}\ge 1+na\forall n\in N\]
Dấu ‘=’ xảy ra \[\Leftrightarrow \] a = 0
Một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp được suy ra từ bất đẳng thức
(A+B)2 \[\ge \] 0
a. a2 + b2 \[\ge \] 2ab
b. (a + b)2 \[\ge \] 4ab
c. 2(a2 + b2) \[\ge \] (a + b)2
d. \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2\]
e. \[\frac{1}{b}+\frac{1}{a}\ge \frac{4}{a+b}\]
