Bằng cách nhóm, thêm , bớt tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm ( hoặc không dương) và hằng số. Từ đó:
.png)
I. Các ví dụ minh họa:
1. Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của \[{{A}_{1}}={{x}^{2}}+4x+7\]
Giải:
Ta có: \[{{A}_{1}}={{x}^{2}}+4x+7={{x}^{2}}+4x+4x+3={{\left( x+2 \right)}^{2}}+3\ge 3\] vì \[{{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 0\]
\[\Rightarrow {{A}_{1}}\min =3\Leftrightarrow x+2=0\Leftrightarrow x=-2\]
Vậy \[{{A}_{1}}\min =3\Leftrightarrow \]\[x=-2\]
2. Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của \[{{A}_{2}}=-{{x}^{2}}+6x-15\]
Giải:
Ta có: \[{{A}_{2}}=-{{x}^{2}}+6x-15=-\left( {{x}^{2}}-6x+9 \right)-6=-{{\left( x-3 \right)}^{2}}-6\le -6\]
Do \[-{{\left( x-3 \right)}^{2}}\le 0\] \[\forall x\in \]R
\[\Rightarrow {{A}_{2}}\max =-6\Leftrightarrow x-3=0\Leftrightarrow x=3\]
Vậy \[{{A}_{2}}\max =-6\Leftrightarrow \]\[x=3\]
3. Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \[{{A}_{3}}=\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\left( x-8 \right)+2002\]
Giải:
Ta có: \[{{A}_{3}}=\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\left( x-8 \right)+2002\]\[=\left( x-1 \right)\left( x-4 \right)\left( x-5 \right)\left( x-8 \right)+2002\]
\[=\left( {{x}^{2}}-9x+8 \right)\left( {{x}^{2}}-9x+20 \right)+2002\]
\[=\left\{ \left( {{x}^{2}}-9x+14 \right)-6 \right\}.\left\{ \left( {{x}^{2}}-9x+14 \right)+6 \right\}+2002\]
\[={{\left( {{x}^{2}}-9x+14 \right)}^{2}}-36+2002={{\left( {{x}^{2}}-9x+14 \right)}^{2}}+1966\ge 1966\]
Vì \[{{\left( {{x}^{2}}-9x+14 \right)}^{2}}\ge 0\forall x\]
\[\Rightarrow {{A}_{3}}\min =1966\Leftrightarrow {{x}^{2}}-9x+14=0\Leftrightarrow \]\[x=2;x=7\]
Vậy \[{{A}_{3}}\min =1966\Leftrightarrow \]\[x=2;x=7\]
4. ví dụ 4: tìm GTLN của biểu thức \[{{A}_{4}}=\frac{2{{x}^{2}}-10x-1}{{{x}^{2}}-2x+1}\left( x\ne 1 \right)\]
Giải:
Ta có: \[{{A}_{4}}=\frac{2{{x}^{2}}-10x-1}{{{x}^{2}}-2x+1}\]\[=\frac{2\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)-6\left( x-1 \right)-9}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\]\[=2-\frac{6}{x-1}-\frac{9}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-{{\left( \frac{3}{x-1}+1 \right)}^{2}}+3\le 3\] vì \[-{{\left( \frac{3}{x-1}+1 \right)}^{2}}\le 0\forall x\]
\[\Rightarrow {{A}_{4}}\max =3\Leftrightarrow \frac{3}{x-1}+1=0\Leftrightarrow x=-2\]
Vậy \[{{A}_{4}}\max =3\Leftrightarrow \]\[x=-2\].
5. Ví dụ 5: tìm GTLN \[{{A}_{5}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\]
Giải:
Ta có: \[{{A}_{5}}=\frac{x}{\sqrt{y}}+\frac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}-\sqrt{y}\]\[=\frac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}-x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{xy}}\]\[=\frac{x\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)-y\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}{\sqrt{xy}}\]
\[=\frac{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right).\left( x-y \right)}{\sqrt{xy}}=\frac{{{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}.\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}{\sqrt{xy}}\ge 0\] \[\forall x,y>0\]
\[\Rightarrow {{A}_{5}}\min =0\Leftrightarrow x=y=0\Leftrightarrow x=y\]
Vậy \[{{A}_{5}}\min =0\]\[\Leftrightarrow x=y>0\]
6. Ví dụ 6: Cho x, y \[\ge \]0 và x + y =1. Tìm GTNN của \[{{A}_{6}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\]
Giải:
Do \[x,y\ge 0\] và \[x+y=1\Rightarrow 0\le x;y\le 1\Rightarrow {{x}^{2}}\le x;{{y}^{2}}\le y\]
\[\Rightarrow {{A}_{6}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le x+y=1\Rightarrow {{A}_{6}}\max =1\Leftrightarrow x=0;y=1\] hoặc \[x=1;y=0\]
Mặt khác: \[x+y=1\Rightarrow {{\left( x+y \right)}^{2}}=1\Rightarrow 1={{x}^{2}}+2xy+{{y}^{2}}\Rightarrow \left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)-{{\left( x-y \right)}^{2}}\]
\[\Rightarrow {{A}_{6}}={{x}^{2}}+{{y}^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{{\left( x-y \right)}^{2}}\ge \frac{1}{2}\] do \[{{\left( x-y \right)}^{2}}\ge \]0
\[\Rightarrow {{A}_{6}}\min =\frac{1}{2}\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\]
Vậy: \[{{A}_{6}}\max =1\Leftrightarrow x=0;y=1\] hoặc \[x=1;y=0\]
\[{{A}_{6}}\min =\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\]
7. Ví dụ 7: Tìm GTLN của \[{{A}_{7}}=xy+yz+zx-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}\]
Giải:
Ta có: \[{{A}_{7}}=xy+yz+zx-{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-{{z}^{2}}\]\[=-\frac{1}{2}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+2{{z}^{2}}-2xy-2yz-2zx \right)\]
\[=-\frac{1}{2}\left\{ {{\left( x-y \right)}^{2}}+{{\left( y-z \right)}^{2}}+{{\left( z-x \right)}^{2}} \right\}\le 0\] \[\forall x,y,z\Rightarrow {{A}_{7}}\max =0\Leftrightarrow x=y=z\]
Vậy \[{{A}_{7}}\max =0\Leftrightarrow x=y=z\]
8. Ví dụ 8: tìm GTLN của biểu thức \[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}\]
Giải:
Ta có thể viết \[y=\frac{1}{{{x}^{2}}+x+1}=\frac{1}{{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}}\]
Vì \[{{\left( x+\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\]. Do đó ta có \[y\le \frac{4}{3}\].
Dấu “=” xảy ra \[\Leftrightarrow x=-\frac{1}{2}\].
Vậy GTLN của \[y=\frac{4}{3}\] tại \[x=-\frac{1}{2}\]
II. Nhận xét:
Phương pháp giải toán cực trị đại số bằng cách sử dụng các phép biến đổi đồng nhất được áp dụng cho nhiều bài tập, nhiều dạng bài tập khác nhau. Song đôi khi học sinh thường gặp khó khăn trong công việc biến đổi để đạt được mục đích. Vậy còn những phương pháp nào; để cùng phương pháp vừa nêu trên giúp học sinh nhanh chóng tìm ra lời giải. Trước hết ta giải một số bài toán sau để cùng suy ngẫm.
III. Các bài tập đề nghị:
1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau :
a) \[A={{x}^{2}}-10x+20\]
b) \[B={{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-3 \right)}^{2}}\]
c) \[C={{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}}-4y+7\]
d) \[D=\left( x-1 \right)\left( x+2 \right)\left( x+3 \right)\left( x+6 \right)\]
e) \[E=\frac{3{{x}^{2}}-8x+6}{{{x}^{2}}-2x+1}\left( x\ne 1 \right)\]
f) \[F={{x}^{3}}+{{y}^{3}}+xy\] biết \[x+y=1\]
g) \[G=\frac{4\left( x+y+\sqrt{xy} \right)}{x+y+2\sqrt{xy}}\] với \[x,y>0\]
2. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
a) \[A=-{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4x+2002\]
b) \[B=\frac{{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+1}\]; \[C=\frac{-7{{x}^{2}}+74x-196}{{{x}^{2}}-10x+25}\]
3. Tìm GTLN, GTNN của \[A=\frac{{{x}^{2}}+4x+6}{{{x}^{2}}+2x+3}\]
