Bài 1: Cho \[a>b>0\] thỏa mãn \[3{{a}^{2}}+3{{b}^{2}}=10ab.\]
Tính giá trị của biểu thức \[P=\frac{a-b}{a+b}.\]
Bài 2: Cho \[x>y>0\] và \[2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}=5xy.\]
Tính giá trị của biểu thức \[E=\frac{x-y}{x+y}.\]
Bài 3:
- Cho \[a+b+c=0.\] chứng minh rằng \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc.\]
- Cho \[xy+yz+zx=0\] và \[xyz\ne 0\]
Tính giá trị của biểu thức \[M=\frac{yz}{{{x}^{2}}}+\frac{xz}{{{y}^{2}}}+\frac{xy}{{{z}^{2}}}\]
Bài 4: Cho \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}=3abc.\] Tính giá trị của biểu thức \[P=\left( 1+\frac{a}{b} \right)\left( 1+\frac{b}{c} \right)\left( 1+\frac{c}{a} \right).\]
Bài 5
- Phân tích thành nhân tử: \[{{\left( x+y+z \right)}^{3}}-{{x}^{3}}-{{y}^{3}}-{{z}^{3}}\]
- Cho các số \[x,y,z\] thỏa mãn điều kiện \[x+y+z=1\] và \[^{3}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}=1.\]
Tính giá trị của biểu thức \[A={{x}^{2017}}+{{y}^{2017}}+{{z}^{2017}}.\]
Bài 6: Cho \[a+b+c=0.\] và \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=14.\] Tính giá trị của biểu thức:\[P={{a}^{4}}+{{b}^{4}}+{{c}^{4}}.\]
Bài 7: Cho \[a,b\] là các số thực dương thỏa mãn \[{{a}^{100}}+{{b}^{100}}={{a}^{101}}+{{b}^{101}}={{a}^{102}}+{{b}^{102}}.\]
Tính giá trị của biểu thức \[P={{a}^{2007}}+{{b}^{2007}}.\]
Bài 8: Cho \[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\] và \[\frac{xy}{ab}=-2.\] Tính \[\frac{{{x}^{3}}}{{{a}^{3}}}+\frac{{{y}^{3}}}{{{b}^{3}}}\]
Bài 9: Cho \[a+b+c=0.\] Tính giá trị của biểu thức \[P=\frac{1}{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}+{{c}^{2}}-{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-{{c}^{2}}}.\]
Bài 10: Cho \[\frac{{{x}^{4}}}{a}+\frac{{{y}^{4}}}{b}=\frac{1}{a+b};{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=1.\] Chứng minh rẳng:
- \[b{{x}^{2}}=a{{y}^{2}}\]
- \[\frac{{{x}^{2008}}}{{{a}^{1004}}}+\frac{{{y}^{2008}}}{{{b}^{1004}}}=\frac{2}{{{(a+b)}^{1004}}}.\]
Bài 11: Chứng minh rằng nếu \[xyz=1\] thì \[\frac{1}{1+x+xy}+\frac{1}{1+y+yz}+\frac{1}{1+z+xz}=1\]
Bài 12: Cho \[a+b+c=0.\] Tính giá trị của biểu thức \[A=(a-b){{c}^{3}}+(c-a){{b}^{3}}+(b-c){{a}^{3}}.\]
Bài 13: Cho \[a,b\] đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức: \[P=\frac{{{a}^{2}}}{(a-b)(a-c)}+\frac{{{b}^{2}}}{(b-c)(b-a)}+\frac{{{c}^{2}}}{(c-b)(c-a)}\]
Bài 14: Gọi \[a,b,c\] là độ dài ba cạnh của một tam giác. Cho biết \[(a+b)(b+c)(c+a)=8abc.\] Chứng minh tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng nếu \[a,b,c\] khác nhau thì \[\frac{b-c}{(a-b)(a-c)}+\frac{c-b}{(b-c)(b-a)}+\frac{a-b}{(c-a)(c-b)}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}.\]
Bài 16: Cho biết \[a+b+c=2p.\]
Chứng minh rằng \[\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p}=\frac{abc}{p(p-a)(p-b)(p-c)}\]
Bài 17: Cho \[a,b\ne 0\] thỏa mãn \[a+b=1.\] Chứng minh \[\frac{a}{{{b}^{3}}-1}+\frac{b}{{{a}^{3}}-1}=\frac{2(ab-2)}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+3}\]
Bài 18: Cho \[\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\] và \[\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0.\]
Tính giá trị của biểu thức \[A=\frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{c}^{2}}}\]
Bài 19: Cho \[a,b,c\] đôi một khác nhau và \[\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\]
Tính giá trị của biểu thức \[P=\frac{a}{{{(b-c)}^{2}}}+\frac{b}{(c-a)2}+\frac{c}{{{(a-b)}^{2}}}\]
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
- \[x({{y}^{2}}-{{z}^{2}})+y\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right)+z\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\]
- \[x{{\left( y+z \right)}^{2}}+y{{\left( z+z \right)}^{2}}+z{{\left( x+y \right)}^{2}}-4xyz\]
Bài 21: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện \[a+b=c+d\] và \[ab+1=cd.\]
Chứng minh: \[c=d\]
Bài 22: Cho \[x,y\] là các số nguyên thỏa mãn điều kiện \[9y{{(y-x)}^{2}}=4{{x}^{2}}\]
Tính giá trị của biểu thức \[A=\frac{x-y}{x+y}\]
Bài 23: Cho \[x,y\ne 0\] sao cho \[3{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=2xy.\]
Tính giá trị của biểu thức \[A=\frac{2xy}{-6{{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}}}\]
Bài 24: Cho \[x,y,z\] khác 0 và \[a,b,c\] dương thỏa mãn \[\text{ax}+by+cz=0\] và \[a+b+c=2007.\]
Tính giá trị của biều thức \[P=\frac{\text{a}{{\text{x}}^{2}}+b{{y}^{2}}+c{{z}^{2}}}{bc{{(y-z)}^{2}}+ac{{(x-z)}^{2}}+ac{{(x-y)}^{2}}}\]
