Rút gọn biểu thức chứa căn - Ôn thi toán 9 vào 10

Rút gọn biểu thức chứa căn - Luyện Thi 9 vào 10 (Phần 1)

I.Kiến thức cần nhớ

1. Điều kiện để căn thức có nghĩa.

\[\sqrt{A}\] có nghĩa khi $A\ge 0$

2. Các công thức biến đổi căn thức.

\[\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|\]$\sqrt{AB}=\sqrt{A}.\sqrt{B}(A\ge 0;B\ge 0)$

$\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}(A\ge 0;B>0)$                                 $\sqrt{{{A}^{2}}B}=\left| A \right|\sqrt{B}(B\ge 0)$

$A\sqrt{B}=\sqrt{{{A}^{2}}B}(A\ge 0;B\ge 0)$   

$A\sqrt{B}=-\sqrt{{{A}^{2}}B}(A<0;B\ge 0)$                            $\sqrt{\frac{A}{B}}=\frac{1}{\left| B \right|}\sqrt{AB}(AB\ge 0;B\ne 0)$

    $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}(B>0)$                              $\frac{C}{\sqrt{A}\pm B}=\frac{C(\sqrt{A}\mp B)}{A-{{B}^{2}}}(A\ge 0;A\ne {{B}^{2}})$

   $\frac{C}{\sqrt{A}\pm \sqrt{B}}=\frac{C(\sqrt{A}\mp \sqrt{B})}{A-{{B}^{2}}}(A\ge 0;B\ge 0;A\ne {{B}^{2}})$

II. Ví dụ Minh Họa

Dạng 1. Bài toán tìm x để biểu thức P = m (m là hằng số)

Bước 1. Sử dụng tính chất  \[\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow a.d=b.c\] để làm mất mẫu của ph­ương trình.

Bước 2. Giải ph­ương trình vừa thu đư­ợc để tìm đ­ược x.

Bước 3. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.

Ví dụ: Cho A = \[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\] (với x \[\ge \] 0 và x \[\ne \] 1).  Tìm các giá trị của x để:

a) A = 2.                        b)  A = \[\frac{2}{3}\]         c) A =  \[-\frac{1}{2}\]

Giải: Ta có:

a)  A = 2 \[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\]= 2 \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\] = 2(\[\sqrt{x}\]- 1) \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\]= 2\[\sqrt{x}\] - 2\[\Leftrightarrow \]2 =  2\[\sqrt{x}\]-\[\sqrt{x}\]\[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\] = 2 

\[\Leftrightarrow \] x = 4 (TMĐK)

Vậy với x = 4  thì  A =2.

A = \[\frac{2}{3}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\] = \[\frac{2}{3}\]\[\Leftrightarrow \] 3\[\sqrt{x}\]= 2(\[\sqrt{x}\] - 1) \[\Leftrightarrow \] 3\[\sqrt{x}\]= 2\[\sqrt{x}\] - 2  \[\Leftrightarrow \] 3\[\sqrt{x}\]- 2\[\sqrt{x}\]= - 2 \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\] = - 2(VN)

Vậy  không có giá trị nào của x để A = \[\frac{2}{3}\].

A = \[-\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\] = \[-\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow \] 2\[\sqrt{x}\] = - (\[\sqrt{x}\] - 1) \[\Leftrightarrow \]2\[\sqrt{x}\] = - \[\sqrt{x}\] + 1\[\Leftrightarrow \] 2\[\sqrt{x}\] + \[\sqrt{x}\]= 1 \[\Leftrightarrow \] 3\[\sqrt{x}\] = 1 \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\] = \[\frac{1}{3}\]\[\Leftrightarrow \]x = \[\frac{1}{9}\] (TMĐK)

Vậy với x  = \[\frac{1}{9}\] thì  A = \[-\frac{1}{2}\].

Dạng 2. Bài toán tìm x để biểu thức P < m hoặc P > m, hoặc P       \[\le \]m, hoặc P \[\ge \] m  (m là hằng số)

B­ước 1. Chuyển m sang vế trái, quy đồng mẩu thức các phân thức rồi làm gọn vế trái.

B­ước 2. Xác định dấu của tử hoặc mẩu của vế trái, từ đó có đ­ợc một bất phư­ơng

             trình đơn giản (không chứa mẫu).

Bư­ớc 3. Giải bất ph­ương trình trên để tìm đ­ợc x.

Bư­ớc 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.

Ví dụ: Cho A = \[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\] (với x \[\ge \] 0).Tìm các giá trị của x để:

a) A > \[\frac{1}{3}\]  b)  A < \[\frac{2}{5}\]c) A \[\le \]\[\frac{1}{2}\]

Giải: Ta có:

a)  A > \[\frac{1}{3}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\] > \[\frac{1}{3}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\] - \[\frac{1}{3}\] > 0 \[\Leftrightarrow \]\[\frac{3(\sqrt{x}-1)}{3(\sqrt{x}+1)}\]- \[\frac{(\sqrt{x}+1)}{3(\sqrt{x}+1)}\] > 0\[\Leftrightarrow \]\[\frac{3(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}+1)}{3(\sqrt{x}+1)}\]> 0 

\[\Leftrightarrow \]\[\frac{3\sqrt{x}-3-\sqrt{x}-1}{3(\sqrt{x}+1)}\] > 0  \[\Leftrightarrow \]\[\frac{2\sqrt{x}-4}{3(\sqrt{x}+1)}\]> 0 (*)

Vì với điều kiện x \[\ge \] 0 thì  3(\[\sqrt{x}\] + 1) > 0 \[\Rightarrow \] (*) \[\Leftrightarrow \] 2\[\sqrt{x}\] - 4 > 0 \[\Leftrightarrow \] 2\[\sqrt{x}\] > 4 \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\]> 2 \[\Leftrightarrow \]x >  4

Vậy với x > 0 thì  A > \[\frac{1}{3}\].

b)  A < \[\frac{2}{5}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\]< \[\frac{2}{5}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\] - \[\frac{2}{5}\] < 0 \[\Leftrightarrow \]\[\frac{5(\sqrt{x}-1)}{5(\sqrt{x}+1)}\] - \[\frac{2(\sqrt{x}+1)}{5(\sqrt{x}+1)}\] < 0\[\Leftrightarrow \]\[\frac{5(\sqrt{x}-1)-2(\sqrt{x}+1)}{5(\sqrt{x}+1)}\] < 0 

\[\Leftrightarrow \]\[\frac{5\sqrt{x}-5-2\sqrt{x}-2}{5(\sqrt{x}+1)}\] < 0  \[\Leftrightarrow \]\[\frac{3\sqrt{x}-7}{5(\sqrt{x}+1)}\] < 0 (**)

Vì với điều kiện x \[\ge \] 0 thì  5(\[\sqrt{x}\] + 1) > 0 \[\Rightarrow \] (**) \[\Leftrightarrow \] 3\[\sqrt{x}\] - 7 < 0 \[\Leftrightarrow \] 3\[\sqrt{x}\]< 7 \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\] < \[\frac{7}{3}\]

\[\Leftrightarrow \] x <  \[\frac{49}{9}\]     Kết hợp với điều kiện xác định ta đ­ược 0 \[\le \] x < \[\frac{49}{9}\].

Vậy với 0 \[\le \]x < \[\frac{49}{9}\] thì  A < \[\frac{2}{5}\].

c)  A \[\le \]\[\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\]\[\le \]\[\frac{1}{2}\]\[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\] - \[\frac{1}{2}\]\[\le \] 0 \[\Leftrightarrow \]\[\frac{2(\sqrt{x}-1)}{2(\sqrt{x}+1)}\] - \[\frac{(\sqrt{x}+1)}{2(\sqrt{x}+1)}\]\[\le \] 0\[\Leftrightarrow \]\[\frac{2(\sqrt{x}-1)-(\sqrt{x}+1)}{2(\sqrt{x}+1)}\]\[\le \] 0 

\[\Leftrightarrow \]\[\frac{2\sqrt{x}-2-\sqrt{x}-1}{2(\sqrt{x}+1)}\]\[\le \]0  \[\Leftrightarrow \]\[\frac{\sqrt{x}-3}{2(\sqrt{x}+1)}\]\[\le \]0   (***)

Vì với điều kiện x \[\ge \] 0 thì  2(\[\sqrt{x}\]+ 1) > 0 \[\Rightarrow \](***) \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\]- 3  \[\le \] 0 \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\]\[\le \]3 \[\Leftrightarrow \]x \[\le \] 9

Kết hợp với điều kiện xác định ta đ­ược 0 \[\le \] x \[\le \] 9.

Vậy với  0 \[\le \] x \[\le \]9 thì  A \[\le \]\[\frac{1}{2}\].

Dạng 3. Bài toán so sánh biểu thức P với  m (m là hằng số)

Bư­ớc 1. Tính P – m = ?

B­ước 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có kết quả so sánh.

    +) Nếu  P – m > 0 thì P > m.

    +) Nếu  P – m < 0 thì P < m.

    +) Nếu  P – m = 0 thì P = m.

Ví dụ: Cho P = \[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\](với x > 0). Hãy so sánh P với 1.

Giải: Ta có: P – 1 = \[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\] - 1 = \[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}}\] - \[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]= \[\frac{(\sqrt{x}-1)-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\] = \[\frac{-1}{\sqrt{x}}\]

    Vì  \[\frac{-1}{\sqrt{x}}\]< 0 \[\Rightarrow \] P – 1 < 0  \[\Rightarrow \]P < 1.

Dạng 4. Bài toán Chứng minh biểu thức P < m (m là hằng số) với mọi giá trị của x thuộc ĐKXĐ.

B­ước 1. Tính P – m = ?

Bư­ớc 2. Nhận xét dấu của hiệu P – m để có điều phải chứng minh.

    +) Nếu  P – m > 0 thì P > m.

    +) Nếu  P – m < 0 thì P < m.

    +) Nếu  P – m = 0 thì P = m.

Ví dụ: Cho P = \[\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\] (với x > 0).  Chứng minh rằng: P > 1 với mọi giá trị của x > 0.

Giải: Ta có: P – 1 = \[\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\] - 1 = \[\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\] - \[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\]= \[\frac{(\sqrt{x}+1)-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}\] = \[\frac{1}{\sqrt{x}}\]

Vì  với  x > 0 thì \[\sqrt{x}\] > 0  \[\Rightarrow \]\[\frac{1}{\sqrt{x}}\] > 0 \[\Rightarrow \] P – 1 > 0  \[\Rightarrow \] P > 1.  (đpcm)

Dạng 5. Bài toán tìm x để biểu thức P nhận giá trị nguyên (nguyên d­ơng)

Bư­ớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:  P =  m + \[\frac{n}{A(x)}\](m, n \[\in \]Z,  A(x) là biểu thức chứa x)

B­ước 2. Biện luận:

Vì  m \[\in \] Z nên để P nguyên thì \[\frac{n}{A(x)}\] phải nguyên, mà \[\frac{n}{A(x)}\] nguyên thì “A(x)

phải là ­ước của n”.

B­ước 3. Giải các ph­ương trình: A(x) = Ư_(n) để tìm đ­ược x.   

B­ước 4. Đối chiếu điều kiện và chọn nghiệm hợp lí.

Ví dụ 1: Cho P = \[\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\] (với x \[\ge \] 0 và x \[\ne \]1).Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên.

Giải: Ta có: P =  \[\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}\] = \[\frac{(\sqrt{x}-1)+3}{\sqrt{x}-1}\] = \[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}\] + \[\frac{3}{\sqrt{x}-1}\]= 1 + \[\frac{3}{\sqrt{x}-1}\]

   

   Để P  nhận giá trị nguyên thì \[\frac{3}{\sqrt{x}-1}\]phải nhận giá trị nguyên, mà \[\frac{3}{\sqrt{x}-1}\]nguyên thì 

\[\sqrt{x}\] - 1 phải là ước của 3.

        Vậy với x = 0, x = 4 và  x = 16 thì P nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2: Cho M = \[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\] (với x \[\ge \] 0 và x \[\ne \]4).

            Tìm các giá trị của x để M nhận giá trị nguyên dư­ơng.

Giải: Ta có: M =  \[\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\] = \[\frac{(\sqrt{x}-2)+2}{\sqrt{x}-2}\] = \[\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\] + \[\frac{2}{\sqrt{x}-2}\]= 1 + \[\frac{2}{\sqrt{x}-2}\]

Để P  nhận giá trị nguyên thì \[\frac{2}{\sqrt{x}-2}\] phải nhận giá trị nguyên, mà \[\frac{2}{\sqrt{x}-2}\]nguyên thì  \[\sqrt{x}\] - 2 phải là ư­ớc của 2.

Với x = 16 thì  M = \[\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{16}-2}\]= \[\frac{4}{4-2}\]= 2 > 0   (TM)

Với x = 0 thì  M = \[\frac{\sqrt{0}}{\sqrt{0}-2}\] = \[\frac{0}{-2}\] = 0 (loại)

Với x = 9 thì  M = \[\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{9}-2}\] = \[\frac{3}{3-2}\] = 3 > 0   (TM)

Với x = 1 thì  M = \[\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{1}-2}\] = \[\frac{1}{-1}\] = - 1 < 0   (loại)

   Vậy với x = 16 và x = 9 thì M nhận giá trị nguyên d­ương.

Dạng 6. Bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.

Khái niệm:

+) Nếu P(x)   \[\ge \] m (m là hằng số) thì m gọi là giá trị nhỏ nhất của P(x).

+) Nếu P(x)   \[\le \] k (k là hằng số) thì k gọi là giá trị lớn nhất của P(x).

b) Cách giải:

Bư­ớc 1. Biến đổi biểu thức P về dạng:  P =  m + \[\frac{n}{A(x)}\] (m, n \[\in \] Z,  A(x) là biểu thức chứa x)

Bư­ớc 2. Biện luận:

 Tr­ờng hợp 1. “n > 0”.

          +) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

          +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất.

(Vì: Để P đạt giá trị lớn nhất thì \[\frac{n}{A(x)}\] phải đạt giá trị lớn nhất tức là A(x) phải đạt giá trị nhỏ nhất.

 Còn để P đạt giá trị nhỏ nhất thì \[\frac{n}{A(x)}\] phải đạt giá trị nhỏ nhất tức là A(x) phải đạt giá trị lớn nhất).

           Tr­ờng hợp 2. “n < 0”.

          +) P đạt giá trị lớn nhất khi A(x) đạt giá trị lớn nhất.

          +) P đạt giá trị nhỏ nhất khi A(x) đạt giá trị nhỏ nhất.

Bư­ớc 3. Tiến hành tìm giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của A(x) để có đ­ược giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của P  

B­ước 4. Tìm điều kiện để xảy ra dấu bằng.

Bư­ớc 5. Kết luận.

Ví dụ 1: Cho P = \[\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\](với x \[\ge \] 0).

Tìm giá trị lớn nhất của P.

Giải: Ta có: P =  \[\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+1}\]= \[\frac{(\sqrt{x}+1)+2}{\sqrt{x}+1}\] = \[\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\]+ \[\frac{2}{\sqrt{x}+1}\]= 1 + \[\frac{2}{\sqrt{x}+1}\]

    Ta thấy: Vì ở đây n = 2 > 0 nên: Để P đạt giá trị nhỏ nhất thì \[\sqrt{x}\]+ 1 phải đạt giá

trị lớn nhất.

    Vì: \[\sqrt{x}\]\[\ge \] 0 \[\Rightarrow \]\[\sqrt{x}\]+ 1 \[\ge \] 1 \[\Rightarrow \]Giá trị nhỏ nhất của \[\sqrt{x}\]+ 1 là 1\[\Rightarrow \]

 Giá trị lớn nhất của P là: 1 + \[\frac{2}{1}\]= 3

     Mặt khác:  \[\sqrt{x}\] + 1 = 1

\[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\] = 0  \[\Leftrightarrow \] x = 0.

      Vậy: Giá trị lớn nhất của P là 3, đạt đ­ược khi x = 0.

Ví dụ 2: Cho M = \[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\](với x \[\ge \]0).Tìm giá trị nhỏ nhất của M.

Giải: Ta có: M =  \[\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\] = \[\frac{(\sqrt{x}+1)-2}{\sqrt{x}+1}\]= \[\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}\] - \[\frac{2}{\sqrt{x}+1}\]= 1 + \[\frac{-2}{\sqrt{x}+1}\]

    Ta thấy: Vì ở đây n = - 2 < 0 nên: Để M đạt giá trị nhỏ nhất thì \[\sqrt{x}\]+ 1 phải đạt giá trị nhỏ nhất.

      Vì: \[\sqrt{x}\]\[\ge \]0 \[\Rightarrow \]\[\sqrt{x}\] + 1 \[\ge \] 1 \[\Rightarrow \] Giá trị nhỏ nhất của \[\sqrt{x}\] + 1 là 1

\[\Rightarrow \] Giá trị lớn nhất của M là: 1 + \[\frac{-2}{1}\] = - 1

Mặt khác:  \[\sqrt{x}\] + 1 = 1 \[\Leftrightarrow \]\[\sqrt{x}\] = 0  \[\Leftrightarrow \] x = 0.

Vậy: Giá trị nhỏ nhất của M là - 1, đạt đ­ược khi x = 0.            

Dạng 7. Ph­ương trình dạng ax + b\[\sqrt{x}\] + c = 0 (1) (a, b, c là các số cho tr­ước và  a\[\ne \]0)

Cách giải:

  B­ước 1. Đặt \[\sqrt{x}\] = y  (*)   (ĐK: y         \[\ge \] 0)

Để đ­ưa phư­ơng trình (1) về dạng phư­ơng trình bậc hai có ẩn là y.

                           a.y² + b.y + c = 0   (2)

  B­ước 2. Giải ph­ương trình (2) để tìm đư­ợc y.

  B­ước 3. Thay y vừa tìm đ­ược vào hệ thức (*) để tìm đư­ợc x.

 b)  Chú ý:

         +) Để phư­ơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì ph­ương trình (2) phải có hai

             nghiệm phân biệt không âm.

         Tức là: Phư­ơng trình (2) phải có:

 

         +) Để phư­ơng trình (1) có 1 nghiệm phân biệt thì phư­ơng trình (2) phải có hai

             nghiệm trái dấu, hoặc phải có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không, hoặc

             phải có nghiệm kép không âm.

         Tức là: Ph­ương trình (2) phải có (3 trư­ờng hợp): 

    Tr­ường hợp 1. Phư­ơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu:   a.c < 0

    Tr­ường hợp 2. Ph­ương trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không: 

    Trư­ờng hợp 3. Ph­ương trình (2) có nghiệm kép không âm:

 

Ví dụ: Cho ph­ương trình:  x – 2(m – 1)\[\sqrt{x}\]+ 1 – 2m = 0   (1)   (với m là tham số)

Giải phư­ơng trình khi m = \[\frac{1}{2}\].

Tìm các giá trị của tham số m để ph­ương trình (1) có:

 1) Hai nghiệm.                        2) Một nghiệm.

      Giải:

          Đặt \[\sqrt{x}\]= y  (*)   (ĐK: y \[\ge \] 0)

Khi đó ph­ương trình (1) trở thành:  y² – 2(m – 1)y + 1 – 2m = 0   (2)

Khi m = \[\frac{1}{2}\] thì phư­ơng trình (2) trở thành: y² + y  = 0 \[\Leftrightarrow \]y(y + 1) = 0

    Với y = 0 thì  \[\sqrt{x}\] = 0  \[\Leftrightarrow \] x = 0

Vậy khi m = \[\frac{1}{2}\] thì ph­ương trình có nghiệm là x = 0.

        b/1) Để phư­ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì phư­ơng trình (2) phải có:

       

Vậy không có giá trị nào của m để ph­ương trình (1) có hai nghiệm.

        b/2) Để ph­ương trình (1) có một nghiệm thì phư­ơng trình (2) phải có:

Tr­ường hợp 1. Phư­ơng trình (2) có hai nghiệm trái dấu:   a.c < 0 \[\Leftrightarrow \]1 – 2m < 0

\[\Leftrightarrow \] m > \[\frac{1}{2}\]

    Tr­ường hợp 2. Phư­ơng trình (2) có một nghiệm âm và một nghiệm bằng không:

      

Trường hợp 3. Phư­ơng trình (2) có nghiệm kép không âm: 

Kết hợp cả 3 trư­ờng hợp trên ta đư­ợc với  m \[\ne \] 0 thì phương trình (1) sẽ có một nghiệm.

 

III. Bài tập vận dụng

Bài 1:Cho biểu thức

             \[A=\frac{8-x}{2+\sqrt[3]{x}}:\left( 2+\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{2+\sqrt[3]{x}} \right)+\left( \sqrt[3]{x}+\frac{2\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}}{\sqrt[3]{x}-2} \right).\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{x}}\]  (\[x\ne 8;x\ne -8;x\ne 0)\]

                           Chứng minh A không phụ thuộc biến số

Hướng dẫn

Cho biểu thức

             \[A=\frac{8-x}{2+\sqrt[3]{x}}:\left( 2+\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{2+\sqrt[3]{x}} \right)+\left( \sqrt[3]{x}+\frac{2\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}}{\sqrt[3]{x}-2} \right).\frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4}{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{x}}\]  (\[x\ne 8;x\ne -8;x\ne 0)\]

Chứng minh A không phụ thuộc biến số

 

\[A=\frac{(2-\sqrt[3]{x})(4+2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}})}{2+\sqrt[3]{x}}:\left( \frac{4+2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}{2+\sqrt[3]{x}} \right)+\left( \frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-2\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}}{\sqrt[3]{x}-2} \right).\frac{(\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}-2)(\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}+2)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}+2)}\]

\[A=\frac{(2-\sqrt[3]{x})(4+2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}})}{2+\sqrt[3]{x}}.\frac{2+\sqrt[3]{x}}{4+2\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}}+\left( \frac{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-2\sqrt[3]{x}+2\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}}{\sqrt[3]{x}-2} \right).\frac{(\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}-2)(\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}+2)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[3]{{{x}^{{}}}}+2)}\]

\[A=2-\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{x}=2\notin x\]

 

Bài 2 :

         Cho biểu thức

             \[A=\left[ \left( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right)\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}. \right]:\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{{{y}^{3}}}}{\sqrt{x{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{3}}y}}\] 

1. Rút gọn A

         \[\]2) Tìm x ; y biết \[xy=\frac{1}{36};A=5\]

Hướng dẫn:

1)

\[A=\left[ \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}.\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{x+y}{xy}. \right]:\frac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left( x-\sqrt{xy}+y \right)+\sqrt{xy}(\sqrt{x}+\sqrt{y})}{\sqrt{xy}\left( x+y \right)}\]

\[A=\frac{{{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)}^{2}}}{xy}.\frac{\sqrt{xy}\left( x+y \right)}{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right)\left( x+y \right)}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{xy}}\]

2)  \[A=5\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=5\sqrt{xy}\Leftrightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}=\frac{5}{6}\] theo GT \[\sqrt{xy}=\frac{1}{6}\]

theo Viet đảo  \[\sqrt{x};\sqrt{y}\] là nghiệm dương của phương trình bậc 2

\[{{t}^{2}}-\frac{5}{6}t+\frac{1}{6}=0\Leftrightarrow 6{{t}^{2}}-5t+1=0\] \[\Delta =1\Rightarrow {{t}_{1}}=\frac{1}{2};{{t}_{2}}=\frac{1}{3}\]

vậy \[\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{4};\frac{1}{3} \right);\left( \frac{1}{3};\frac{1}{4} \right)\]

Bài 3 : Cho biểu thức

\[A=\left( \frac{x-y}{2y-x}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y-2}{2{{y}^{2}}+xy-{{x}^{2}}} \right):\frac{4{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}-4}{{{x}^{2}}+y+xy+x}\]

Với  \[x>0;y>0;x\ne 2y;y\ne 2-2{{x}^{2}}\]

    1. Rút gọn biểu thức A

      2. Cho y=1  hãy tìm x để \[A=\frac{2}{5}\]

Hướng dẫn :

\[1.A=\left( \frac{x-y}{2y-x}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y-2}{2{{y}^{2}}+xy-{{x}^{2}}} \right):\frac{4{{x}^{4}}+4{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}-4}{{{x}^{2}}+y+xy+x}\]

\[A=\left( \frac{x-y}{2y-x}+\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y-2}{(x+y)(2y-x)} \right).\frac{(x+y)(x+1)}{(2{{x}^{2}}+y-2)(2{{x}^{2}}+y+2)}\]

\[A=\frac{2{{x}^{2}}+y-2}{(x+y)(2y-x)}.\frac{(x+y)(x+1)}{(2{{x}^{2}}+y-2)(2{{x}^{2}}+y+2)}=\frac{x+1}{(2y-x)(2{{x}^{2}}+y+2)}\]

2. Với y= 1 ta có

\[A=\frac{x+1}{\left( 2-x \right)\left( 2{{x}^{2}}+3 \right)}=\frac{2}{5}\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-8{{x}^{2}}+11x-7=0\]

\[\Leftrightarrow (x-1)(4{{x}^{2}}-4x+7)=0\Leftrightarrow x=1\]

 

Bài 4 :

Cho biểu thức  D = \[\left( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{ab}} \right)\]:\[\left( 1+\frac{a+b+2ab}{1-ab} \right)\] với a > 0 , b > 0 , ab\[\ne \]1

            a) Rút gọn D.

            b) Tính giá trị của D với a = \[\frac{2}{2-\sqrt{3}}\]

Rút gọn D :  Biểu thức  D = \[\left( \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{1-\sqrt{ab}}+\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{1+\sqrt{ab}} \right)\]:\[\left( 1+\frac{a+b+2ab}{1-ab} \right)\]

 Với ĐK : a > 0 , b > 0 , ab\[\ne \]1 Biểu thức D có nghĩa

   $D=\frac{\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)\left( 1+\sqrt{ab} \right)+\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( 1-\sqrt{ab} \right)}{1-ab}:\frac{1-ab+a+b+2ab}{1-ab}$

$=\frac{2\sqrt{a}+2b\sqrt{a}}{1-ab}:\frac{1+ab+a+b}{1-ab}=\frac{2\sqrt{a}\left( 1+b \right)}{1-ab}:\frac{\left( 1+a \right)\left( 1+b \right)}{1-ab}$

$=\frac{2\sqrt{a}\left( 1+b \right)}{1-ab}.\frac{1-ab}{\left( 1+a \right)\left( 1+b \right)}=\frac{2\sqrt{a}}{1+a}$

b) a = \[\frac{2}{2-\sqrt{3}}\]= $4+2\sqrt{3}=3+2\sqrt{3}+1={{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}$

 => $D=\frac{2\sqrt{{{\left( \sqrt{3}+1 \right)}^{2}}}}{5+2\sqrt{3}}=\frac{2\left| \sqrt{3}+1 \right|}{5+2\sqrt{3}}=\frac{2\left( \sqrt{3}+1 \right)}{5+2\sqrt{3}}=\frac{\left( 2\sqrt{3}+2 \right)\left( 5-2\sqrt{3} \right)}{13}=\frac{6\sqrt{3}-2}{13}=\frac{2\left( 3\sqrt{3}-1 \right)}{13}$  (Với $\sqrt{3}+1$>0)

Bài 5 : Cho biểu thức

A = \[\left[ \text{1:}\left( \text{1-}\frac{\sqrt{\text{a}}}{\text{1}+\sqrt{\text{a}}} \right) \right].\left[ \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{(a+1)(\sqrt{a}-1)} \right]\]

a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.

b) Rút gọn biểu thức A.

c) Với giá trị nào của a thì A có giá trị nguyên.

Giải :

Ta có:  A = \[\left[ \text{1:}\left( \text{1-}\frac{\sqrt{\text{a}}}{\text{1}+\sqrt{\text{a}}} \right) \right].\left[ \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{2\sqrt{a}}{(a+1)(\sqrt{a}-1)} \right]\]

      A = \[\left( 1:\frac{1+\sqrt{a}-\sqrt{\text{a}}}{\text{1}+\sqrt{\text{a}}} \right).\frac{a+1-2\sqrt{a}}{(a+1)(\sqrt{a}-1)}\]                                         

       A = \[\left( 1:\frac{1}{\text{1}+\sqrt{\text{a}}} \right).\frac{{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}}{(a+1)(\sqrt{a}-1)}\]                                                

b) Với điều kiện (*), ta có:

A = \[\left( 1:\frac{1}{\text{1}+\sqrt{\text{a}}} \right).\frac{{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}}{(a+1)(\sqrt{a}-1)}\]                                                          

   

A = \[\frac{(1+\sqrt{a)}{{(\sqrt{a}-1)}^{2}}}{(a+1)(\sqrt{a}-1)}=\frac{a-1}{a+1}\]                                                        

c) Ta có:

     A = = 1 - \[\frac{2}{a+1}\]                                                           

Biểu thức A có giá trị nguyên khi:    2\[\vdots (a+1)\]hay a+1 = {1;-1;2;-2} => a = {0;-2;1;-3}

Kết hợp với điều kiện (*) => a = 0   

 

Bài 6: . Cho biểu thức:

P = \[\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\]

1. Rút gọn biểu thức P.
2. Tính giá trị của P với x = 14 - 6\[\sqrt{5}\]
3. Tìm GTNN của P.

Giải

Điều kiện để giá trị của biểu thức P xác định : x³0; x¹ 9                                        

a) Rút gọn:

      P = \[\frac{x\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-3)}-\frac{2(\sqrt{x}-3)}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}\]

= \[\frac{x\sqrt{x}-3-2{{(\sqrt{x}-3)}^{2}}-(\sqrt{x}+3)(\sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+1)}\]                                                                                                               

=\[\frac{x\sqrt{x}-3-2x+12\sqrt{x}-18-x-3\sqrt{x}-\sqrt{x}-3}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+1)}\]                                                                                                                                               

=\[\frac{x\sqrt{x}-3x+8\sqrt{x}-24}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+1)}\] =\[\frac{\sqrt{x(}x+8)-3(x+8)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+1)}\] = \[\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}\]                       

b) x = 14 - 6\[\sqrt{5}\] = (\[\sqrt{5}\])² - 2.3. \[\sqrt{5}\] + 9 = (\[\sqrt{5}\] - 3)² Þ \[\sqrt{x}\] = 3 - \[\sqrt{5}\]   

Khi đó P = \[\frac{14-6\sqrt{5}+8}{3-\sqrt{5}+1}\] = \[\frac{22-6\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}\] = \[\frac{58-2\sqrt{5}}{11}\]                                                                                           

Vậy với x = 14 - 6\[\sqrt{5}\] thì P = \[\frac{58-2\sqrt{5}}{11}\]

c)

 P= \[\frac{x+8}{\sqrt{x}+1}=\frac{x-1+9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}-1+\frac{9}{\sqrt{x}+1}=\sqrt{x}+1+\frac{9}{\sqrt{x}+1}-2\ge 2\sqrt{9}-2=4\]         

( áp dụng BĐT CôSi cho 2 số dương  \[\sqrt{x}+1;\frac{9}{\sqrt{x}+1}\])

Dấu"=" xảy ra Û \[\sqrt{x}+1=\frac{9}{\sqrt{x}+1}\] Û x = 4 (thỏa mãn điều kiện)           

Vậy minP = 4, đạt được khi x = 4.         

Bài 7: Cho    A=$\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}-\frac{5}{x+\sqrt{x}-6}+\frac{1}{2-\sqrt{x}}$

1. Rút gọn A
2. Tìm x để A có giá trị nguyên

. a)  đk  $x\ge 0;x\ne 4$    A=$\frac{\left( \sqrt{x}+2 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)-5-\left( \sqrt{x}+3 \right)}{\left( \sqrt{x}+3 \right)\left( \sqrt{x}-2 \right)}=\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}$  (2đ)

b) A=\[\frac{\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}-2}=1-\frac{2}{\sqrt{x}-2}\] nguyên khi 2 \[\vdots \](\[\sqrt{x}\]-2) \[\Rightarrow \]x = 0; 1; 9; 16  (2đ)

Bài 8 :

Cho biểu thức sau:

\[P=\frac{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left( x-1 \right)}{\sqrt{x}-1}\]

1. Rút gọn P.

2. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

3. Tìm x để biểu thức \[Q=\frac{2\sqrt{x}}{P}\] nhận giá trị là số nguyên

Điều kiện:  0 < x # 1

\[P=\frac{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)\left( x+\sqrt{x}+1 \right)}{x+\sqrt{x}+1}-\left( 2\sqrt{x}+1 \right)+2\left( \sqrt{x}+1 \right)\]\[\]

\[P=x-\sqrt{x}+1\]

\[P=\left( {{\sqrt{x}}^{2}}-2\sqrt{x}.\frac{1}{2}+\frac{1}{4} \right)+\frac{3}{4}={{\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2} \right)}^{2}}+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}\] với mọi x thoả mãn điều kiện xác định

\[\Rightarrow \min P=\frac{3}{4}\Leftrightarrow \sqrt{x}-\frac{1}{2}=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{4}\]

\[Q=\frac{2\sqrt{x}}{P}=\frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=\frac{2}{\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}-1}=\frac{2}{M}\]

\[\Rightarrow Q=1\Rightarrow \frac{2\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}=1\]

\[x-3\sqrt{x}+1=0\Rightarrow x=\frac{7+3\sqrt{5}}{2};x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\]

Kết luận: với \[x=\frac{7\pm 3\sqrt{5}}{2}\] thì \[Q\in Z\]

Bài 9 :

Cho biểu thức

\[A=\left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}} \right):\left( 1+\frac{x+y+2xy}{1-xy} \right)\]

a, Rút gọn A

b, Tính giá trị của A khi \[x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}\]

c, Tìm giá trị lớn nhất của A.

Giải :a,

Điều kiện để A có nghĩa là \[x\ge 0;y\ge 0;xy\ne 1\]                                         

Ta có : \[A=\left( \frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{1-\sqrt{xy}}+\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{1+\sqrt{xy}} \right):\left( 1+\frac{x+y+2xy}{1-xy} \right)\]

                  \[=\frac{\left( \sqrt{x}+\sqrt{y} \right).\left( 1+\sqrt{xy} \right)+\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right).\left( 1-\sqrt{xy} \right)}{1-xy}:\frac{1+x+y+xy}{1-xy}\]                  

                  \[=\frac{\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{y}+y\sqrt{x}+\sqrt{x}-x\sqrt{y}-\sqrt{y}+y\sqrt{x}}{1-xy}:\frac{1+x+y+xy}{1-xy}\]                                             

                  \[=\frac{2\sqrt{x}+2y\sqrt{x}}{1-xy}.\frac{1-xy}{\left( 1+x \right).\left( 1+y \right)}\]\[=\frac{2\sqrt{x}\left( 1+y \right)}{\left( 1+x \right)\left( 1+y \right)}=\frac{2\sqrt{x}}{1+x}\]                                                                               

b, Ta có : \[x=\frac{2}{2+\sqrt{3}}\] thoả mãn điều kiện \[x\ge 0\]                 

\[x=\frac{2\left( 2-\sqrt{3} \right)}{\left( 2+\sqrt{3} \right)\left( 2-\sqrt{3} \right)}=4-2\sqrt{3}={{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}\]                                                             

Thay x vào A ta có:

\[A=\frac{2\sqrt{{{\left( \sqrt{3}-1 \right)}^{2}}}}{4-2\sqrt{3}+1}=\frac{2\left| \sqrt{3}-1 \right|}{5-2\sqrt{3}}\]  \[=\frac{2\left( \sqrt{3}-1 \right)\left( 5+2\sqrt{3} \right)}{\left( 5-2\sqrt{3} \right)\left( 5+2\sqrt{3} \right)}\]

\[=\frac{2\left( 5\sqrt{3}+6-5-2\sqrt{3} \right)}{{{5}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}\]\[=\frac{2\left( 3\sqrt{3}+1 \right)}{25-12}=\frac{2\left( 3\sqrt{3}+1 \right)}{13}\]                                                                                                                  

c, Với mọi \[x\ge 0\] ta có \[{{\left( \sqrt{x}-1 \right)}^{2}}\ge 0\]                

\[\Leftrightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge 0\]  \[\Leftrightarrow x+1\ge 2\sqrt{x}\]\[\Leftrightarrow 1\ge \frac{2\sqrt{x}}{1+x}\]   ( vì x+1>0) \[\Leftrightarrow \frac{2\sqrt{x}}{1+x}\le 1\Leftrightarrow A\le 1\]                     

Vậy giá trị lớn nhất của P = 1 khi \[\sqrt{x}-1=0\Leftrightarrow x=1\]          

                  

 

Bài viết gợi ý: