Bằng cách đặt biến phụ và các phép biến đối tương đương, các bất đẳng thức cơ bản ta có thể chuyển biến thức đã cho về biểu thức đơn giản hơn.
I. Các ví dụ minh họa:
1. Ví dụ 1: Tìm GTNN của \[{{C}_{1}}={{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+12x+12\]
Giải
\[{{C}_{1}}={{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+13{{x}^{2}}+12x+12\]
\[{{C}_{1}}=\left( {{x}^{4}}+6{{x}^{3}}+19{{x}^{2}}+30x+25 \right)-6\left( {{x}^{2}}+3x+5 \right)+17\]
\[{{C}_{1}}={{\left( {{x}^{2}}+3x+5 \right)}^{2}}-6\left( {{x}^{2}}+3x+5 \right)+17\]
Đặt \[{{x}^{2}}+3x+5=a\]
\[{{C}_{1}}={{a}^{2}}-6a+17={{a}^{2}}-6a+9+8\]
\[{{C}_{1}}={{\left( a-3 \right)}^{2}}+8\ge 8\] do \[{{\left( a-3 \right)}^{2}}\ge 0\forall a\]
⇒ \[{{C}_{1}}\min =8\]⟺ a – 3 = 0 ⟺ a = 3 ⟺ \[{{x}^{2}}+3x+2=0\] ⟺ .png)
Vậy: \[{{C}_{1}}\min =8\] ⟺ .png)
2. Ví dụ 2: Tìm GTNN của \[{{C}_{2}}=2.\left( \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}} \right)-5\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)+6\] với x, y > 0
Giải
Đặt \[\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\ge 2\Rightarrow \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}={{a}^{2}}-2\]
\[\Rightarrow {{C}_{2}}=2.\left( {{a}^{2}}-2 \right)-5a+6=2{{a}^{2}}-5a+2\]
Ta thấy: \[a\ge 2\Rightarrow {{C}_{2}}=2{{a}^{2}}-5a+2\ge 0\]
\[\Rightarrow {{C}_{2}}\min =0\Leftrightarrow a=2\Leftrightarrow x=y>0\]
Vậy: \[{{C}_{2}}\min =0\Leftrightarrow x=y>0\]
Ví dụ 3: Tìm GTNN của \[{{C}_{3}}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}-3\sqrt{\frac{x}{y}}-3\sqrt{\frac{y}{x}}+2004\] với x, y > 0
Giải
Đặt: \[\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=a\ge 2\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}={{a}^{2}}-2.\] Khi đó: \[{{C}_{3}}=\left( {{a}^{2}}-2 \right)-3a+2004\]
\[{{C}_{3}}={{a}^{2}}-3a+2004={{a}^{2}}-3a+2+2002=\left( a-1 \right)\left( a-2 \right)+2000\]
Do ta có: \[a\ge 2\Rightarrow a-1>0;a-2\ge 0\Rightarrow \left( a-1 \right)\left( a-2 \right)\ge 0\]
\[\Rightarrow {{C}_{3}}=\left( a-1 \right)\left( a-2 \right)+2000\ge 2000\Rightarrow {{C}_{3}}\min =2000\Leftrightarrow a=2\]
\[\Leftrightarrow x=y;xy>0\]
Vậy \[{{C}_{3}}\min =2000\Leftrightarrow x=y\] và xy > 0
Ví dụ 4: Cho x, y, z > 0. Tìm GTNN của \[{{C}_{4}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\frac{\sqrt{z}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\]
Giải
Đặt: \[a=\sqrt{y}+\sqrt{z};b=\sqrt{x}+\sqrt{z};c=\sqrt{x}+\sqrt{y}\]
\[\Rightarrow \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}=\frac{a+b+c}{2}\]
\[\Rightarrow \sqrt{x}=\frac{-a+b+c}{2};\sqrt{y}=\frac{a-b+c}{2};\sqrt{z}=\frac{a+b-c}{2}\]
Khi đó: \[{{C}_{4}}=\frac{-a+b+c}{2}+\frac{a-b+c}{2}+\frac{a+b-c}{2}\]
\[{{C}_{4}}=\frac{1}{2}\left[ \left( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right)+\left( \frac{b}{c}+\frac{c}{b} \right)+\left( \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \right)-3 \right]\]
Theo Côsi với a, b, c > 0 ta có: \[\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge 2;\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge 2;\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\ge 2\]
\[\Rightarrow {{C}_{4}}\ge \frac{1}{2}\left( 2+2+2-3 \right)=\frac{3}{2}\]
\[\Rightarrow {{C}_{4}}\min =\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c\Leftrightarrow x=y=z>0.\]
Vậy \[{{C}_{4}}\min =\frac{3}{2}\Leftrightarrow x=y=z>0.\]
Ví dụ 5: Tìm GTLN, GTNN của \[{{C}_{5}}=\frac{\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)\left( 1-{{x}^{2}}{{y}^{2}} \right)}{{{\left( 1+{{x}^{2}} \right)}^{2}}{{\left( 1+{{y}^{2}} \right)}^{2}}}\]
Giải
Ta có: \[\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}\ge a.b\left( 1 \right)\forall a,b\] và \[\frac{-{{\left( a-b \right)}^{2}}}{4}\le ab\left( 2 \right)\forall a,b\]
Đặt: \[\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}=a\] và \[\frac{1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}=b\]
Khi đó: \[{{C}_{5}}=a.b\]
Theo (1) và (2) ta có: \[-\frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}\le {{C}_{5}}=ab\le \frac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}\]
\[\Leftrightarrow -\frac{1}{4}{{\left[ \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}-1+{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right]}^{2}}\le {{C}_{5}}\le \frac{1}{4}{{\left[ \frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+1-{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right]}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow -\frac{1}{4}{{\left[ \frac{\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right]}^{2}}\le {{C}_{5}}\le \frac{1}{4}{{\left[ \frac{\left( {{x}^{2}}+1 \right)\left( 1-{{y}^{2}} \right)}{\left( 1+{{x}^{2}} \right)\left( 1+{{y}^{2}} \right)} \right]}^{2}}\]
\[\Leftrightarrow -\frac{1}{4}{{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}\le {{C}_{5}}\le \frac{1}{4}{{\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}\]
Ta có: \[0\le {{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}\le 1;0\le {{\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}\le 1\]
Do đó: \[-\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}{{\left( \frac{{{x}^{2}}-1}{{{x}^{2}}+1} \right)}^{2}}\le {{C}_{5}}\le \frac{1}{4}{{\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)}^{2}}\le \frac{1}{4}\]
⇒ \[{{C}_{5}}\min =-\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}={{\left( {{x}^{2}}+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow x=0\]
\[{{C}_{5}}max=\frac{1}{4}\Leftrightarrow {{\left( 1-{{y}^{2}} \right)}^{2}}={{\left( 1+{{y}^{2}} \right)}^{2}}\Leftrightarrow y=0\]
Vậy \[{{C}_{5}}\min =-\frac{1}{4}\Leftrightarrow x=0;{{C}_{5}}max=\frac{1}{4}\Leftrightarrow y=0\]
Ví dụ 6: Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = 1. Tìm GTNN của biểu thức: \[E=\frac{1}{{{x}^{3}}\left( y+z \right)}+\frac{1}{{{y}^{3}}\left( z+x \right)}+\frac{1}{{{z}^{3}}\left( x+y \right)}.\]
Giải
Đặt \[a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}\Rightarrow abc=\frac{1}{xyz}=1\]
Do đó: \[\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=a+b\Rightarrow x+y=\left( a+b \right).xy\Rightarrow x+y=c\left( a+b \right)\]
Tương tự: \[y+z=a\left( b+c \right);z+x=b\left( c+a \right)\]
\[\Rightarrow E=\frac{1}{{{x}^{3}}}.\frac{1}{\left( y+z \right)}+\frac{1}{{{y}^{3}}}.\frac{1}{\left( z+x \right)}+\frac{1}{{{z}^{3}}}.\frac{1}{\left( x+y \right)}\]
\[={{a}^{3}}.\frac{1}{a\left( b+c \right)}+{{b}^{3}}.\frac{1}{b\left( c+a \right)}+{{c}^{3}}.\frac{1}{c\left( a+b \right)}=\frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}\]
Ta có: \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\] (1)
Thật vậy: Đặt b + c = x; c + a = y; a + b = z
\[\Rightarrow a+b+c=\frac{x+y+z}{2}\]
\[\Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2};b=\frac{z+x-y}{2};c=\frac{x+y-z}{2}\]
Khi đó, \[VT=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{y+z-x}{2x}+\frac{z+x-y}{2y}+\frac{x+y-z}{2z}\]
\[=\frac{1}{2}\left( \frac{y}{x}+\frac{x}{y} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{z}{x}+\frac{x}{z} \right)+\frac{1}{2}\left( \frac{z}{y}+\frac{y}{z} \right)-\frac{3}{2}\ge 1+1+1-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\]
Nhân hai vế (1) với a + b + c > 0. Ta có:
\[\frac{a\left( a+b+c \right)}{b+c}+\frac{b\left( a+b+c \right)}{c+a}+\frac{c\left( a+b+c \right)}{a+b}\ge \frac{3}{2}\left( a+b+c \right)\]
\[\Rightarrow \frac{{{a}^{2}}}{b+c}+\frac{{{b}^{2}}}{c+a}+\frac{{{c}^{2}}}{a+b}\ge \frac{a+b+c}{2}\ge \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}\Rightarrow E\ge \frac{3}{2}\]
⇒ GTNN của E là \[\frac{3}{2}\] khi a = b = c = 1.
II. Các bài tập đề nghị:
1. Tìm GTNN của \[A={{x}^{2}}+4-x+\frac{1}{{{x}^{2}}-x+1}\]
2. Tìm GTLN của \[B=\sqrt{a+1}+\sqrt{2a-3}+\sqrt{50-3a}\] với \[a\in \left[ \frac{3}{2};\frac{50}{3} \right]\]
3. Cho \[a\ge -\frac{1}{2};b\ge -\frac{1}{2};c\ge -\frac{1}{2}\] và a + b + c = 1
Tìm GTLN của \[C=\sqrt{2a+1}+\sqrt{2b+1}+\sqrt{2c+1}\]
4. Cho x, y > 0. Tìm GTNN của \[D=\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}-3\left( \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \right)+4\]
