BỐN PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Đó là các phương pháp: đánh giá; đặt ẩn phụ; biến đổi tương đương và điều kiện cần và đủ.

* Chú ý: đây là các phương pháp chung nhất để giải phương trình vô tỷ ở cấp 2, và chúng ta áp dụng cách giải qua các ví dụ cho mỗi phương pháp.

1. Phương pháp đánh giá

Ví dụ: Giải phương trình: \[\sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}=4-2x-{{x}^{2}}\] (*)

Giải:

Ta nhận thấy:

\[VT=\sqrt{3{{x}^{2}}+6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}+10x+14}\]\[=\sqrt{3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+4}+\sqrt{5{{\left( x+1 \right)}^{2}}+9}\ge \sqrt{4}+\sqrt{9}=5\]

\[VP=4-2x-{{x}^{2}}=5-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\le 5\]

Vậy phương trình (*) đã cho có nghiệm khi và chỉ khi VT = VP = 5 \[\Leftrightarrow x+1=0\Leftrightarrow x=-1\]

2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình \[\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}+\sqrt{\left( 1+x \right)\left( 8-x \right)}=3\]

Giải:

Điều kiện \[-1\le x\le 8\]

Đặt \[t=\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\] với \[t\ge 0\]

\[\Rightarrow {{t}^{2}}=1+x+8-x+2\sqrt{\left( 1+x \right)\left( 8-x \right)}\]\[\Rightarrow \sqrt{\left( 1+x \right)\left( 8-x \right)}=\frac{{{t}^{2}}-9}{2}\]

Khi đó phương trình đã cho trở thảnh: \[t+\frac{{{t}^{2}}-9}{2}=3\Leftrightarrow {{t}^{2}}+2t-15=0\]

Loại t = -5 do < 0

Với t = 3 ta có \[\sqrt{1+x}+\sqrt{8-x}\] = 3 \[\Leftrightarrow 1+x+8-x+2\sqrt{\left( 1+x \right)\left( 8-x \right)}=9\]\[\Leftrightarrow \sqrt{\left( 1+x \right)\left( 8-x \right)}=0\]

( thỏa mãn \[-1\le x\le 8\])

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = -1; và x = 8

3. Phương pháp biến đổi tương đương

Phương pháp biến đổi tương đương được áp dụng cho 2 dạng phương pháp vô tỷ:

Ví dụ 1: giải phương trình \[\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2x}\]

Giải:

Với điều kiện (*) phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\[\sqrt{1-2x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{x+4}\Leftrightarrow 1-2x+1-x+\sqrt{\left( 1-2x \right)\left( 1-x \right)}=x+4\]\[\Leftrightarrow \sqrt{\left( 1-x \right)\left( 1-2x \right)}=2x+1\]

\[\Leftrightarrow \]x = 0 thỏa mãn (*)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 0

Ví dụ 2: Giải phương trình \[\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}-\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=1\]

Giải:

Ta có:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \[x=\frac{9}{4}\]

4. Phương pháp điều kiện cần và đủ

Ví dụ 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: \[\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=m\]

Giải: Điều kiện cần:

Nhận thấy nếu phương trình có nghiệm \[{{x}_{0}}\] thì \[\left( -1-{{x}_{0}} \right)\] cũng là nghiệm của phương trình. Do đó để phương trình có nghiệm duy nhất thì:

\[{{x}_{0}}=-1-{{x}_{0}}\Leftrightarrow {{x}_{0}}=-\frac{1}{2}\]

Thay \[{{x}_{0}}=-\frac{1}{2}\] vào phương trình đã cho ta được \[m=3\sqrt{2}\]

Điều kiện đủ:

Với \[m=3\sqrt{2}\] phương trình đã cho trở thành:

\[\sqrt{4-x}+\sqrt{x+5}=3\sqrt{2}\]