Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.
* Cấu trúc của phương pháp.
– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh
– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh
– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.
Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
\[a+\frac{1}{b}<2\]; \[b+\frac{1}{c}<2\]; \[c+\frac{1}{a}<2\]
Giải
Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT: \[a+\frac{1}{b}<2\]; \[b+\frac{1}{c}<2\]; \[c+\frac{1}{a}<2\]
Suy ra: \[a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6\Leftrightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6\] (*)
Mà: \[a+\frac{1}{a}\ge 2\] (a > 0); \[b+\frac{1}{b}\ge 2\] (b > 0); \[c+\frac{1}{c}\ge 2\] (c > 0).
\[\Rightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6\]
Do đó (*) vô lý.
Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.
\[a+\frac{1}{b}<2\]; \[b+\frac{1}{c}<2\]; \[c+\frac{1}{a}<2\]
