Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp phản chứng

Phương pháp phản chứng ít khi được sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức cấp 2 tuy nhiên phương pháp này khá hữu dụng trong một số bài toán.

* Cấu trúc của phương pháp.

– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

– Giả sử xảy ra mệnh đề trái với yêu cầu cần chứng minh

– Kết luận yêu cầu cần chứng minh là đúng.

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

$a+\frac{1}{b}<2$; $b+\frac{1}{c}<2$; $c+\frac{1}{a}<2$

Giải

Giả sử tồn tại ba số dương a, b, c thoả mãn cả ba BĐT: $a+\frac{1}{b}<2$; $b+\frac{1}{c}<2$; $c+\frac{1}{a}<2$

Suy ra: $a+\frac{1}{b}+b+\frac{1}{c}+c+\frac{1}{a}<6\Leftrightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)<6$ (*)

Mà: $a+\frac{1}{a}\ge 2$ (a > 0); $b+\frac{1}{b}\ge 2$ (b > 0); $c+\frac{1}{c}\ge 2$ (c > 0).

$\Rightarrow \left( a+\frac{1}{a} \right)+\left( b+\frac{1}{b} \right)+\left( c+\frac{1}{c} \right)\ge 6$

Do đó (*) vô lý.

Vậy: Không có 3 số dương a, b, c nào thoả mãn cả 3 BĐT.

$a+\frac{1}{b}<2$; $b+\frac{1}{c}<2$; $c+\frac{1}{a}<2$

Bài viết gợi ý: