I/ Biểu thức số học
Phương pháp:
Dùng các Phương pháp biến đổi căn thức (đưa ra; đưa vào; khử; trục; cộng, trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số…) để rút gọn biểu thức.
Bài tập: Thực hiện phép tính:
1) \[2\sqrt{5}-\sqrt{125}-\sqrt{80}+\sqrt{605};\]
2) \[\frac{10+2\sqrt{10}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}+\frac{8}{1-\sqrt{5}};\]
3) \[\sqrt{15-\sqrt{216}}+\sqrt{33-12\sqrt{6}};\]
4) \[\frac{2\sqrt{8}-\sqrt{12}}{\sqrt{18}-\sqrt{48}}-\frac{\sqrt{5}+\sqrt{27}}{\sqrt{30}+\sqrt{162}};\]
5) \[\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}};\]
6) \[2\sqrt{\frac{16}{3}}-3\sqrt{\frac{1}{27}}-6\sqrt{\frac{4}{75}};\]
7) \[2\sqrt{27}-6\sqrt{\frac{4}{3}}+\frac{3}{5}\sqrt{75};\]
8) \[\frac{\sqrt{3-\sqrt{5}}.\left( 3+\sqrt{5} \right)}{\sqrt{10}+\sqrt{2}};\]
9) \[\sqrt{8\sqrt{3}}-2\sqrt{25\sqrt{12}}+4\sqrt{\sqrt{192}};\]
10) \[\sqrt{2-\sqrt{3}}\left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right);\]
11) \[\sqrt{3-\sqrt{5}}+\sqrt{3+\sqrt{5}};\]
12) \[\sqrt{4+\sqrt{10+2\sqrt{5}}}+\sqrt{4-\sqrt{10+\sqrt{2\sqrt{5}}}};\]
13) \[\left( 5+2\sqrt{6} \right)\left( 49-20\sqrt{6} \right)\sqrt{5-2\sqrt{6}};\]
14) \[\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{2-\sqrt{3}}};\]
15) \[\frac{6+4\sqrt{2}}{\sqrt{2}+\sqrt{6+4\sqrt{2}}}+\frac{6-4\sqrt{2}}{\sqrt{2}-\sqrt{6-4\sqrt{2}}};\]
16) \[\frac{{{\left( \sqrt{5}+2 \right)}^{2}}-8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}-4};\]
17) \[\sqrt{14-8\sqrt{3}}-\sqrt{24-12\sqrt{3}};\]
18) \[\frac{4}{\sqrt{3}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}-2}+\frac{6}{\sqrt{3}-3};\]
19) \[{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{3}}-{{\left( \sqrt{2}-1 \right)}^{3}};\]
20) \[\frac{\sqrt{3}}{1-\sqrt{\sqrt{3}+1}}+\frac{\sqrt{3}}{1+\sqrt{\sqrt{3}+1}}.\]
II/ Biểu thức đại số
Phương pháp:
– Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử
– Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán chưa cho ĐKXĐ)
– Rút gọn từng phân thức(nếu được)
– Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất như:
+ Quy đồng (đối với phép cộng trừ); nhân, chia.
+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử – rút gọn
Chú ý: Trong mỗi bài toán rút gọn thường có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phương trình; bất phương trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất… Do vậy ta phải áp dụng các phương pháp giải tương ứng, thích hợp cho từng loại bài.
Ví dụ: Cho biểu thức: \[P=\left( \frac{1}{a-\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right):\frac{\sqrt{a}+1}{a-2\sqrt{a}+1}\]
a. Rút gọn P:
b. Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải:
a. Rút gọn P:
- Phân tích: \[P=\left[ \frac{1}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}+\frac{1}{\sqrt{a}-1} \right]:\frac{\sqrt{a}+1}{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}\]
- ĐKXĐ: .png)
- Quy đồng: \[P=\frac{1+\sqrt{a}}{\sqrt{a}\left( \sqrt{a}-1 \right)}.\frac{{{\left( \sqrt{a}-1 \right)}^{2}}}{\sqrt{a}+1}\]
- Rút gọn: \[P=\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}}.\]
b. Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
- Chia tử cho mẫu ta được: \[P=1-\frac{1}{\sqrt{a}}.\]
- Lý luận: P nguyên ⇔ \[\frac{1}{\sqrt{a}}\] nguyên ⇔ \[\sqrt{a}\] là ước của 1 là ±1 ⇒ \[\sqrt{a}\] = .png)
Vậy với a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức \[A=\left( \frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{x}} \right)\left( \frac{x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} \right)\]
a. Rút gọn biểu thức A;
b. Tìm giá trị của x để A > -6.
Bài 2: Cho biểu thức \[B=\left( \frac{\sqrt{x}}{x-4}+\frac{2}{2-\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right):\left( \sqrt{x}-2+\frac{10-x}{\sqrt{x}+2} \right)\]
a. Rút gọn biểu thức B;
b. Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 3: Cho biểu thức \[C=\frac{1}{\sqrt{x}-1}-\frac{3}{x\sqrt{x}+1}+\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\]
a. Rút gọn biểu thức C;
b. Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 4: Rút gọn biểu thức \[D=\frac{x+2+\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x+2-\sqrt{{{x}^{2}}-4}}+\frac{x+2-\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{x+2+\sqrt{{{x}^{2}}-4}}\]
Bài 5: Cho biểu thức \[P=\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-2}\] và \[Q=\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{x}+2x-2}{\sqrt{x}+2}\]
a. Rút gọn biểu thức P và Q;
b. Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 6: Cho biểu thức \[P=\frac{2x+2}{\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}-\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}\]
a. Rút gọn biểu thức P.
b. So sánh P với 5.
c. Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức \[\frac{8}{P}\] chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{3x+\sqrt{9x}-3}{x+\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}+2} \right):\frac{1}{x-1}\]
a. Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b. Tìm các số tự nhiên x để \[\frac{1}{P}\] là số tự nhiên;
c. Tìm giá trị của P với \[x=4-2\sqrt{3}\].
Bài 8: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3} \right):\left( 2-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1} \right)\]
a. Rút gọn biểu thức P;
b. Tìm x để \[\frac{1}{P}\le -\frac{5}{2}\]
Bài 9: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{1-a\sqrt{a}}{1-\sqrt{a}}+\sqrt{a} \right).\left( \frac{1+a\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}-\sqrt{a} \right)\]
a. Rút gọn P
b. Tìm a để \[P<7-4\sqrt{3}\]
Bài 10: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}-\frac{3x+3}{x-9} \right):\left( \frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1 \right)\]
a. Rút gọn.
b. Tìm x để \[P<\frac{1}{2}\]
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 11: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{x-3\sqrt{x}}{x-9}-1 \right):\left( \frac{9-x}{x+\sqrt{x}-6}-\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3} \right)\]
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị của x để P < 1
Bài 12: Cho biểu thức \[P=\frac{15\sqrt{x}-11}{x+2\sqrt{x}-3}+\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}\]
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của x để \[P=\frac{1}{2}\]
c. Chứng minh \[P\le \frac{2}{3}\]
Bài 13: Cho biểu thức \[P=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+m}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-m}-\frac{{{m}^{2}}}{4x-4{{m}^{2}}}\] với m > 0
a. Rút gọn P
b. Tính x theo m để P = 0
c. Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thỏa mãn điều kiện x > 1
Bài 14: Cho biểu thức \[P=\frac{{{a}^{2}}+\sqrt{a}}{a-\sqrt{a}+1}-\frac{2a+\sqrt{a}}{\sqrt{a}}+1\]
a. Rút gọn P
b. Tìm a để P = 2
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P?
Bài 15: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}+\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}-1 \right):\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{ab}+1}-\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{a}}{\sqrt{ab}-1}+1 \right)\]
a. Rút gọn P
b. Tính giá trị của P nếu \[a=2-\sqrt{3}\] và \[b=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}\]
c. Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu \[\sqrt{a}+\sqrt{b}=4\]
Bài 16: Cho biểu thức \[P=\frac{a\sqrt{a}-1}{a-\sqrt{a}}-\frac{a\sqrt{a}+1}{a+\sqrt{a}}+\left( \sqrt{a}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right)\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}+\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1} \right)\]
a. Rút gọn P
b. Với giá trị nào của a thì P = 7
c. Với giá trị nào của a thì P > 6
Bài 17: Cho biểu thức \[P={{\left( \frac{\sqrt{a}}{2}-\frac{1}{2\sqrt{a}} \right)}^{2}}\left( \frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1} \right)\]
a. Rút gọn P
b. Tìm các giá trị của a để P < 0
c. Tìm các giá trị của a để P = -2
Bài 18: Cho biểu thức \[P=\frac{{{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}^{2}}+4\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}\]
a. Tìm điều kiện để P có nghĩa
b. Rút gọn P
c. Tính giá trị của P khi \[a=2\sqrt{3}\] và \[b=\sqrt{3}\]
Bài 19: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}} \right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\]
a. Rút gọn P
b. Chứng minh rằng P > 0 \[\forall x\ne 1\]
Bài 20: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1} \right):\left( 1-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1} \right)\]
a. Rút gọn P
b. Tính \[\sqrt{P}\] khi \[x=5+2\sqrt{3}\]
Bài 21: \[P=1:\left( \frac{1}{2+\sqrt{x}}+\frac{\frac{3x}{2}}{4-x}-\frac{2}{4-2\sqrt{x}} \right):\frac{1}{4-2\sqrt{x}}\]
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị của x để P = 20
Bài 22: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}}{y-x} \right):\frac{{{\left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right)}^{2}}+\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\]
a. Rút gọn P
b. Chứng minh P ≥ 0
Bài 23: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{3\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}} \right).\left[ \left( \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{3\sqrt{ab}}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}} \right):\frac{a-b}{a+\sqrt{ab}+b} \right]\]
a. Rút gọn P
b. Tính P khi a = 16 và b = 14
Bài 24: Cho biểu thức \[P=1+\left( \frac{2a+\sqrt{a}-1}{1-a}-\frac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{1-a\sqrt{a}} \right).\frac{a-\sqrt{a}}{2\sqrt{a}-1}\]
a. Rút gọn P
b. Cho \[P=\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}\] tìm giá trị của a
c. Chứng minh rằng \[P>\frac{2}{3}\]
Bài 25: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{x-5\sqrt{x}}{x-25}-1 \right):\left( \frac{25-x}{x+2\sqrt{x}-15}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+5}+\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}-3} \right)\]
a. Rút gọn P
b. Với giá trị nào của x thì P < 1
Bài 26: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} \right):\frac{\left( a-1 \right).\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)}{2a+2\sqrt{ab}+2b}\]
a. Rút gọn P
b. Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức \[P=\left( \frac{1}{\sqrt{a}-1}-\frac{1}{\sqrt{a}} \right):\left( \frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a-1}} \right)\]
a. Rút gọn P
b. Tìm giá trị của a để \[P>\frac{1}{6}\]
Bài 28: Cho biểu thức \[P=\left[ \left( \frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}} \right).\frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \right]:\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}+y\sqrt{x}+x\sqrt{y}+\sqrt{{{y}^{3}}}}{\sqrt{{{x}^{3}}y}+\sqrt{x{{y}^{3}}}}\]
a. Rút gọn P
b. Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 29: Cho biểu thức \[P=\frac{\sqrt{{{x}^{3}}}}{\sqrt{xy}-2y}-\frac{2x}{x+\sqrt{x}-2\sqrt{xy}-2\sqrt{y}}.\frac{1-x}{1-\sqrt{x}}\]
a. Rút gọn P
b. Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P < 0,2
Bài 30: Cho biểu thức \[P=1:\left( \frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}+1}{x-1} \right)\]
a. Rút gọn P
b. So sánh P với 3
