Bằng phương pháp làm trội, làm giảm chúng ta có thể chứng minh được một số dạng bài tập bất đẳng thức. Các em xem ví dụ dưới đây để rõ về phương pháp này.
Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh rằng: \[1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\]
Giải
Ta có: \[\frac{a}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}\]; \[\frac{b}{a+b+c}<\frac{b}{b+c}\]; \[\frac{c}{a+b+c}<\frac{c}{c+a}\]
Suy ra: \[\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\]
\[\Leftrightarrow 1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\]
Ta lại có: \[\frac{a}{a+b}<\frac{a+c}{a+b+c}\] (điều này dễ chứng minh được)
Tương tự:
\[\frac{b}{b+c}<\frac{a+b}{a+b+c}\];
\[\frac{c}{c+a}<\frac{c+b}{a+b+c}\]
Suy ra: \[\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<\frac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c}=2\]
\[\Leftrightarrow \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\]
Vậy: \[1<\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}<2\]
Ví dụ 2: Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n lớn hơn 1 thì:
\[\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1\]
Giải
Ta có: \[\frac{1}{{{k}^{2}}}=\frac{1}{k.k}<\frac{1}{k\left( k-1 \right)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\]
Nên:
\[\frac{1}{{{2}^{2}}}<\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\]
\[\frac{1}{{{3}^{2}}}<\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\]
…….
\[\frac{1}{{{n}^{2}}}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\]
Suy ra: \[\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1-\frac{1}{n}<1\]
Vậy: \[\frac{1}{{{2}^{2}}}+\frac{1}{{{3}^{2}}}+...+\frac{1}{{{n}^{2}}}<1\]
