Về mở rộng một số bất đẳng thức

Ví dụ 1:

Cho a và b là hai số dương. Chứng minh: \[(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4\]

Mở rộng: Cho n số dương a₁, a₂,…,a_n.Chứng minh rằng:

\[({{a}_{1}}+{{a}_{1}}+...+{{a}_{n}})(\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+...+\frac{1}{a{}_{n}})\ge {{n}^{2}}\]

Gợi ý: Dùng BĐT cô si để giải

Ví dụ 2:

Cho a và b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: \[(a+1)(b+1)\ge 2\]

Mở rộng:

Cho n số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:

a) \[({{a}_{1}}+1)({{a}_{2}}+1)...({{a}_{n}}+1)\ge {{2}^{n}}\]

b) \[({{a}_{1}}+{{a}_{2}})({{a}_{2}}+{{a}_{3}})({{a}_{3}}+{{a}_{4}})...({{a}_{n}}+{{a}_{1}})\ge {{2}^{n}}\]

Gợi ý: Dùng BĐT cô si hai số dương để giải

Ví dụ 3:

Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

\[{{(a+\frac{1}{b})}^{2}}+{{(b+\frac{1}{a})}^{2}}\ge \frac{25}{2}\]

Mở rộng:

Cho n số dương a­₁, a₂,…, a_n có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

a) \[{{({{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{2}}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}})}^{2}}+...+{{({{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{1}}})}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}\]

b) \[{{({{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{1}}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}})}^{2}}+...+{{({{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{n}}})}^{2}}\ge \left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)\]

* Gợi ý : Dùng BĐT Bunhiacốpxki để giải

Ví dụ 4:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2. Chứng minh rằng:

\[{{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\]

Mở rộng:

1/ Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2.

Chứng minh rằng: \[{{a}^{n}}+{{b}^{n}}\ge {{a}^{n-1}}+{{b}^{n-1}}\] (với n là số tự nhiên chẵn và khác 0)

* Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp

2/ a) Cho n số thực a₁,a₂,…,a_n thoả mãn a₁+a₂+..+a_n = n

Chứng minh rằng: \[{{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+...+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+...+{{a}_{n}}^{3}\] 

b) Cho n số thực a₁ , a₂ ,…, a_n thoả mãn a₁ + a₂ + ... + a_n \[\ge \] n

Chứng minh rằng \[{{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+...+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+...+{{a}_{n}}^{3}\]

*Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp

Ví dụ 5:

Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b ≥ 1 . Chứng minh rằng: 

\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}\]

Mở rộng:

Cho n số thực a₁, a₂,…, a­_n thỏa mãn a­₁ + a₂ + … + a_n = \[\frac{n}{2}\]

Chứng minh rằng:  \[{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+...+{{a}_{n}}^{2}\ge \frac{n}{4}\]

* Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp

Bài viết gợi ý: