Ví dụ 1:
Cho a và b là hai số dương. Chứng minh: \[(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\ge 4\]
Mở rộng: Cho n số dương a1, a2,…,an.Chứng minh rằng:
\[({{a}_{1}}+{{a}_{1}}+...+{{a}_{n}})(\frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+...+\frac{1}{a{}_{n}})\ge {{n}^{2}}\]
Gợi ý: Dùng BĐT cô si để giải
Ví dụ 2:
Cho a và b là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: \[(a+1)(b+1)\ge 2\]
Mở rộng:
Cho n số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
a) \[({{a}_{1}}+1)({{a}_{2}}+1)...({{a}_{n}}+1)\ge {{2}^{n}}\]
b) \[({{a}_{1}}+{{a}_{2}})({{a}_{2}}+{{a}_{3}})({{a}_{3}}+{{a}_{4}})...({{a}_{n}}+{{a}_{1}})\ge {{2}^{n}}\]
Gợi ý: Dùng BĐT cô si hai số dương để giải
Ví dụ 3:
Cho a và b là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\[{{(a+\frac{1}{b})}^{2}}+{{(b+\frac{1}{a})}^{2}}\ge \frac{25}{2}\]
Mở rộng:
Cho n số dương a1, a2,…, an có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
a) \[{{({{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{2}}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}})}^{2}}+...+{{({{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{1}}})}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}\]
b) \[{{({{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{1}}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}})}^{2}}+...+{{({{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{n}}})}^{2}}\ge \left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)\]
* Gợi ý : Dùng BĐT Bunhiacốpxki để giải
Ví dụ 4:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2. Chứng minh rằng:
\[{{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge {{a}^{3}}+{{b}^{3}}\]
Mở rộng:
1/ Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b = 2.
Chứng minh rằng: \[{{a}^{n}}+{{b}^{n}}\ge {{a}^{n-1}}+{{b}^{n-1}}\] (với n là số tự nhiên chẵn và khác 0)
* Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp
2/ a) Cho n số thực a1,a2,…,an thoả mãn a1+a2+..+an = n
Chứng minh rằng: \[{{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+...+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+...+{{a}_{n}}^{3}\]
b) Cho n số thực a1 , a2 ,…, an thoả mãn a1 + a2 + ... + an \[\ge \] n
Chứng minh rằng \[{{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+...+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+...+{{a}_{n}}^{3}\]
*Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp
Ví dụ 5:
Cho a và b là hai số thực thoả mãn a + b ≥ 1 . Chứng minh rằng:
\[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}\]
Mở rộng:
Cho n số thực a1, a2,…, an thỏa mãn a1 + a2 + … + an = \[\frac{n}{2}\]
Chứng minh rằng: \[{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+...+{{a}_{n}}^{2}\ge \frac{n}{4}\]
* Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp