Về phương pháp xét từng khoảng giá trị để tìm GTLN, GTNN

Có nhiều bài toán nếu ta chỉ sử dụng các phép biến đổi tương đương, các bất đẳng thức cơ bản phương pháp đổi biến hay biểu thức phụ, thậm chí ngay cả khi sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số, việc tìm cực trị vẫn gặp rất nhiều khó khăn có khi không thể tìm được. Những khi ta biết cách xét từng khoảng hợp lý (có sự dự đoán) thì việc tìm được cực trị trở nên đơn giản.

Ví dụ 1: Cho \[m,n\in N*\]. Tìm GTNN của A = \[A=\left| {{36}^{m}}-{{5}^{m}} \right|\]

Giải:

Do \[m\in N*\] \[\Rightarrow \] 36^m có chữ số tận cùng là 6

      \[n\in N*\] \[\Rightarrow \] 5^m có chữ số tận cùng là 5

Vì vậy: Nếu 36^m > 5^m thì A có chữ số tận cùng là 1

Nếu 5^m > 36^m thì A có chữ số tận cùng là 9

a) Xét A = 1 ta có: 36^m – 5^m = 1 ( không xảy ra) vì ( 36^m – 1) : 7 còn 5^m : 7

b) Xét A = 9 ta có : 5^m – 36^m = 9 ( không xảy ra) vì ( 5^m – 36^m) : 9 còn 9 : 9

c) Xét A = 11, xảy ra, chẳng hạn m = 1, n = 2

Vậy A_min = 11 \[\Leftrightarrow \] m = 1; n = 2

Ví dụ 2: Cho \[m\in N*\]. Tìm giá trị lớn nhất của B = \[\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}}\]

Giải:

Với n = 1 ta có B = \[\frac{1}{2}<1\]

Với n = 2 ta có B = 1

Với n = 3 ta có B = \[\frac{9}{8}>1\]

Với n = 4 ta có B = 1

Với n = 5 ta có B = \[\frac{25}{32}<1\]

Với n = 6 ta có B = \[\frac{36}{64}=\frac{9}{16}<1\]

………………………………………

Ta dự đoán rằng với \[n\ge 5,n\in N\] thì B < 1

Thật vậy : Ta chứng minh dự đoán bằng phương pháp quy nạp

a) Giả sử \[n\ge 5,n\in N\] ta có \[B=\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}}<1\](*)

Ta cần phải chứng minh công thức (*) đúng với ( n +1 ) nghĩa là phải chứng minh :

\[\frac{{{(n+1)}^{2}}}{{{2}^{n+1}}}<1\Leftrightarrow {{(n+1)}^{2}}<{{2}^{n+1}}(1)\]

Từ (*) ta có : \[{{n}^{2}}<{{2}^{n}}\Leftrightarrow 2{{n}^{2}}<{{2}^{n+1}}(2)\]

Để chứng minh (1) ta chứng minh \[{{(n+1)}^{2}}<2{{n}^{2}}\]

\[\Leftrightarrow \]n² + 2n + 1 < 2n² \[\Leftrightarrow \] n² – 2n – 1 > 0 \[\Leftrightarrow \] ( n – 1)² – 2 > 0 ( đúng vì \[\ge 5\])

b) Kết luận : \[B=\frac{{{n}^{2}}}{{{2}^{n}}}<1\] \[\forall n\ge 5,n\in N*\]

Vậy \[{{B}_{\max }}=\frac{9}{8}\Leftrightarrow n=3\]

Ví dụ 3 : Cho \[a,b,c,d\in N*\] và a + b = c + d = 20

Tìm GTNN và GTLN của \[T=\frac{ab}{ac+bd}\]

Giải:

Do \[T\ne 0\] nên đặt \[P=\frac{1}{T}\Rightarrow \frac{c}{b}+\frac{d}{a}\]

Như vậy \[{{T}_{\min }}\Leftrightarrow {{P}_{\max }}\]; \[{{T}_{\max }}\Leftrightarrow {{P}_{\min }}\]

Do \[a,b,c,d\in N*\]và a + b = c + d = 20 \[\Leftrightarrow \]\[1\le a,b,c,d\le 19\]

* Xét a = b = 10 lúc đó \[P=\frac{c}{10}+\frac{b}{10}=\frac{c+d}{10}=\frac{20}{10}=2\]

* Xét b < a ( trường hợp b > a tương tự)

b < 10 < a hay \[1\le b\le 19\]; \[11\le a\le 19\]

Trước hết ta tìm T_min = P_max = 19 + \[\frac{1}{19}\]

Ta xét 3 trường hợp sau :

A1) \[1\le b<10\]= c = d < a \[\le 19\]

Khi đó : P = \[\frac{c}{b}+\frac{d}{a}\]= \[\frac{10}{b}+\frac{10}{a}<11\]

A2) 1 \[\le \] c \[\le \] b < 10 < a \[\le \] d \[\le \] 19. Khi đó : P =\[\frac{c}{b}+\frac{d}{a}\]< 1 +\[\frac{19}{11}\] < 3

A3) 1 \[\le \] d \[\le \] b < 10 < a \[\le \] c \[\le \]19. Nếu b > 1 thì P\[\le \]\[\frac{19}{2}\]+1<11

Nếu b = 1 thì P \[\le \] \[\frac{19}{1}\] + \[\frac{1}{19}\] = 19 + \[\frac{1}{19}\]

Kết hợp cả 3 trường hợp ta thấy P­_max = 19 + \[\frac{1}{19}\] = \[\frac{172}{19}\]

Do đó T_min­ = \[\frac{19}{172}\]\[\Leftrightarrow \] a = 19, b = 1, c = 19, d = 1

 

Bài viết gợi ý: