Về phương pháp miền giá trị để tìm GTLN, GTNN

Đường lối chung là :

Giải sử ta phải tìm cực trị của hàm số f(x) có miền giá trị D. Gọi y là một giá trị nào đó của f(x) với x ∈ D. Điều này có nghĩa là điều kiện để phương trình f(x) = y có nghiệm. Sau đó giải điều kiện để phương trình f(x)=y có nghiệm (x là biến, coi y là tham số).

Thường đưa đến biểu thức sau : m \[\le \] y \[\le \] M

Từ đó \[\Rightarrow \] Min f(x) = m với x ∈ D.

\[\Rightarrow \] Max f(x) = M với x ∈ D.

Các em hãy xem các ví dụ có lời giải bên dưới để hiểu rõ hơn về phương pháp miền giá trị nhé.

Ví dụ 1: Tìm GTNN của f(x) = x² + 4x + 5

Giải:

Gọi y là một giá trị của f(x)

Ta có : y = x² + 4x + 5

\[\Leftrightarrow \] x² + 4x + 5 – y = 0 ( có nghiệm)

\[\Leftrightarrow \]\[\Delta \]’ = 4 – 5 + y \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \] y \[\ge \] 1

Vậy f(x)_min= 1 \[\Leftrightarrow \] x = -2

Ví dụ 2 : Tìm GTLN của f(x) = -x² + 2x – 7

Giải :

Gọi y là một giá trị của f(x). Ta có : y = -x² + 2x – 7

\[\Leftrightarrow \] x²– 2x + y + 7 = 0 ( có nghiệm)

\[\Leftrightarrow \]\[\Delta \]’ = 1 – y – 1 \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \] y \[\le \] -6

Vậy f(x)_max = -6 \[\Leftrightarrow \] x = 1

Ví dụ 3: Tìm GTLN, GTNN của f(x) = \[\frac{{{x}^{2}}+4x+6}{{{x}^{2}}+2x+3}\]

Giải:

Gọi y là một giá trị của f(x)

Ta có: y = \[\frac{{{x}^{2}}+4x+6}{{{x}^{2}}+2x+3}\] \[\Leftrightarrow \] yx² + 2yx + 3y – x²– 4x – 6 = 0

\[\Leftrightarrow \](y – 1)x² + 2( y – 2)x + 3x – 6 = 0 ( có nghiệm)

* Nếu y = 1 \[\Rightarrow \] x = \[-\frac{3}{2}\]

* Nếu y \[\ne \]1 \[\Rightarrow \] \[\Delta \]’ = ( y – 2)² + (3y -6)(1-y) \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \] y² – 4y + 4 – 3y² + 3y + 6y – 6 \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \] -2y² + 5y + 2 \[\ge \] 0 \[\Leftrightarrow \]\[\frac{1}{2}\]\[\le \] y \[\le \] 2

Ta thấy : \[\frac{1}{2}\]\[\le \] 1 \[\le \] 2

Do vậy : f(x)_min = \[\frac{1}{2}\] \[\Leftrightarrow \] x = -3 ; f(x)_max = 2 \[\Leftrightarrow \]x = 0

Ví dụ 4: Tìm GTNN của f(x) = \[\frac{{{x}^{2}}+2x+6}{{{x}^{2}}-2x+1}\]

Giải:

Gọi y là một giá trị của f(x). Ta có: y = \[\frac{{{x}^{2}}+2x+6}{{{x}^{2}}-2x+1}\]

\[\Leftrightarrow \] yx² + 2yx + y – x² – 2x – 6 = 0

\[\Leftrightarrow \] ( y – 1)x² – 2(y + 1)x + y – 6 = 0 ( có nghiệm)

* Nếu y = 1 \[\Rightarrow \] x = -\[\frac{5}{4}\]

* Nếu y \[\ne \]1 \[\Rightarrow \] \[\Delta \]’ = ( y + 1)² – ( y – 1)(y – 6) \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \]y² + 2y + 1 – y² + 6y + y – 6 \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \]9y – 5 \[\ge \] 0

\[\Leftrightarrow \]y \[\ge \] \[\frac{5}{9}\]

Do \[\frac{5}{9}\] < 1 nên ta có Y_min = \[\frac{5}{9}\] \[\Leftrightarrow \] x = - \[\frac{7}{2}\]. Vậy f(x)_min =\[\frac{5}{9}\] \[\Leftrightarrow \] x = - \[\frac{7}{2}\]

Ví dụ 5 : Tìm GTLN của f(x) = \[\frac{{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+1}\]

Giải :

Gọi y là một giá trị của f(x)

Ta có : y = \[\frac{{{x}^{2}}+2}{{{x}^{2}}+1}\] \[\Leftrightarrow \] yx² + y – x² – 1 = 0

\[\Leftrightarrow \](y – 1)x² + y – 2 = 0

\[\Leftrightarrow \](y -1)x² = 2 – y ( có nghiệm)

* Nếu y = 1 \[\Rightarrow \] Phương trình vô nghiệm

* Nếu y \[\ne \]1 \[\Rightarrow \] x² = \[\frac{2-y}{y-1}\] (1)

(1) có nghiệm \[\Leftrightarrow \]\[\frac{2-y}{y-1}\]\[\ge \]0 \[\Leftrightarrow \] -1 < y < 2

\[\Rightarrow \]Y_min = 2 \[\Leftrightarrow \] x = 0

Vậy f(x)_max = 2 \[\Leftrightarrow \]x = 0