Ví dụ 1:
Cho \[a\] và \[~b\] là hai số dương. Chứng minh: \[\left( a+b \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)\ge 4\]
Mở rộng: Cho n số dương \[{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}.\] Chứng minh rằng:
\[\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}} \right)\left( \frac{1}{{{a}_{1}}}+\frac{1}{{{a}_{2}}}+..+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)\ge {{n}^{2}}\]
* Gợi ý: Dùng BĐT Cô si để giải
Ví dụ 2:
Cho \[a\] và \[~b\] là hai số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng: \[\left( a+1 \right)\left( b+1 \right)\ge 2\]
Mở rộng:
Cho n số dương có tích bằng 1. Chứng minh rằng:
1. \[\left( {{a}_{1}}+1 \right)\left( {{a}_{2}}+1 \right)...\left( {{a}_{n}}+1 \right)\ge {{2}^{n}}\]
2. \[\left( {{a}_{1}}+{{a}_{2}} \right)\left( {{a}_{2}}+{{a}_{3}} \right)\left( {{a}_{3}}+{{a}_{4}} \right)..\left( {{a}_{n}}+{{a}_{1}} \right)\ge {{2}^{n}}\]
Gợi ý : Dùng BĐT Cô si cô hai số dương để giải
Ví dụ 3:
Cho \[a\] và \[~b\] là hai số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
\[{{\left( a+\frac{1}{b} \right)}^{2}}+{{\left( b+\frac{1}{a} \right)}^{2}}\ge \frac{25}{2}\]
Mở rộng:
Cho n số dương \[{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}\] có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
1. \[{{\left( {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{3}}} \right)}^{2}}+..+{{\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}\]
2. \[{{\left( {{a}_{1}}+\frac{1}{{{a}_{1}}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{2}}+\frac{1}{{{a}_{2}}} \right)}^{2}}+..+{{\left( {{a}_{n}}+\frac{1}{{{a}_{n}}} \right)}^{2}}\ge {{\left( \frac{{{n}^{2}}+1}{n} \right)}^{2}}\]
* Gợi ý : Dùng BĐT Bunhiacốpxki để giải
Ví dụ 4:
Cho \[a\] và \[~b\] là hai số thực thoả mãn \[a+b=2.\] Chứng minh rằng: \[{{a}^{4}}~+\text{ }{{b}^{4}}~\ge \text{ }{{a}^{3}}~+\text{ }{{b}^{3}}\]
Mở rộng:
1. Cho \[a\] và \[~b\] là hai số thực thoả mãn \[a+b=2.\]
Chứng minh rằng: \[{{a}^{n}}+{{b}^{n}}~\ge {{a}^{n-1}}+{{b}^{n-1}}~~\] (với n là số tự nhiên chẵn và khác 0)
* Gợi ý : áp dụng cách giải 2 của ví dụ 2 bài 1 phần một số BĐT thường gặp
2.
a) Cho n số thực \[{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}\] thoả mãn \[{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}=n.\]
Chứng minh rằng: \[{{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+..+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+..+{{a}_{n}}^{3}\]
b) Cho n số thực \[{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}\] thoả mãn \[{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}\ge n\]
Chứng minh rằng: \[{{a}_{1}}^{4}+{{a}_{2}}^{4}+..+{{a}_{n}}^{4}\ge {{a}_{1}}^{3}+{{a}_{2}}^{3}+..+{{a}_{n}}^{3}\]
*Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp
Ví dụ 5:
Cho \[a\] và \[~b\] là hai số thực thoả mãn a + b ≥ 1 . Chứng minh rằng: \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}\]
Mở rộng:
Cho n số thực \[{{a}_{1}},{{a}_{2}},...,{{a}_{n}}\] thoả mãn \[{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+..+{{a}_{n}}=\frac{n}{2}.\]
Chứng minh rằng: \[{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+..+{{a}_{n}}^{2}\ge \frac{n}{4}\]
* Gợi ý : áp dụng cách giải như bài 2 phần một số BĐT thường gặp
