Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge ab(a+b)\] với \[a,b>0\]
b) \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\ge ab+2(a+b)\]
c) \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+\frac{3}{4}\ge -a-b-c\]
Bài 2. Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện a+b=1. Chứng minh:
a) \[{{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge \frac{1}{2}\]
b) \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}\ge \frac{1}{4}\]
c) \[{{a}^{4}}+{{b}^{4}}\ge \frac{1}{8}\]
Bài 3. Cho a, b là hai số thỏa mãn a+b=2. Chứng minh:
\[{{a}^{2008}}+{{b}^{2008}}\ge {{a}^{2007}}+{{b}^{2007}}\]
Bài 4.cho ba số x,y,z thỏa mãn điều kiện xy+yz+zx=4. Chứng minh:
\[{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}\ge \frac{16}{3}\]
Bài 5. Cho các số a,b,c, d dương và có tích bằng 1. Chứng minh:
\[(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)\ge 16\]
Bài 6. Cho a,b,c,p là độ dài ba cạnh và nửa chu vi của một tam giác. Chứng minh:
a) \[\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}\ge 2\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\]
b) \[\frac{a}{b+c-a}+\frac{b}{c+a-b}+\frac{c}{a+b-c}\ge 3\]
c) \[ab+bc+ca\le {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<2(ab+bc+ca)\]
d) \[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc\]
Bài 7. Cho ba số dương a,b,c. Chứng minh:
a) \[\frac{{{a}^{3}}}{b}+\frac{{{b}^{3}}}{c}+\frac{{{c}^{3}}}{a}\ge ab+bc+ca)\]
b) \[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}\]
c) \[\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}\ge a+b+c\]
d) \[\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{2ab}+\frac{{{b}^{3}}+{{c}^{3}}}{2bc}+\frac{{{a}^{3}}+{{c}^{3}}}{2ac}\ge a+b+c\]
Bài 8. Cho \[a>c;b\ge c;c>0\]. Chứng minh
\[\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\le \sqrt{ab}\]
Bài 9. Cho ba số x,y,z dương. Chứng minh:
a) \[\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge 3\]
b) \[\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}\ge \frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\]
Bài 10. Chứng minh rangw không có cá số dương a,b, thỏa mãn cả ba BĐT sau:
4a(1-b); 4b(1-c); 4c(1-a)
Bài 11. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên lớn hơn hoặc bằng 2 thì tổng:
\[S=1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}\] không phải là số tự nhiên.
Bài 12. Cho \[{{a}^{3}}+{{b}^{3}}=2\]. Chứng minh rằng \[a+b\le 2\]
Bài 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
\[A=\frac{{{a}^{2}}}{b-1}+\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\] với a>1 và b>1
Bài 14. Cho \[0\le x\le 3\] và \[0\le y\le 4\]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
\[B=(3-x)(4-y)(2x+3y)\]
Bài 15. Giải phương trình:
a) \[\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}={{x}^{2}}-6x+11\]
b) \[\sqrt{3{{x}^{2}}-6x+7}+\sqrt{5{{x}^{2}}-10x+14}=4+2x-{{x}^{2}}\]
c) \[\frac{{{x}^{2}}-6x+15}{{{x}^{2}}-6x+11}=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+18}\]
