Bài 1:

Cho phương trình (m+1)(x+1)2−2m(x+1)+2m=0(1)\left( m+1 \right){{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}-2m\left( \sqrt{x}+1 \right)+2m=0(1)

Định m để phương trình có một nghiệm thuộc [0;4]\left[ 0;4 \right]

Bài 2:

Cho phương trình  : sin3x−m. cos2x−(m +1) sin x +m=0 (1)sin3x-m.\text{ }cos2x-\left( m\text{ }+1 \right)\text{ }sin\text{ }x\text{ }+m=0\text{ }\left( 1 \right)

Định m để phương trình có đúng tám nghiệm 

Bài 3:

Cho phương trình x4−(m+2)x2+4m+1=0(1){{x}^{4}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+4m+1=0(1)

Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.

Bài 4:

Cho phương trình x4−2(m−2)x2+4−3m=0(1){{x}^{4}}-2\left( m-2 \right){{x}^{2}}+4-3m=0(1)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 5:

Giải phương trình sau:

(x+1)4+(x−3)4=32{{\left( x+1 \right)}^{4}}+{{\left( x-3 \right)}^{4}}=32

Bài 6:

Cho phương trình (x2−1)(x+3)(x+5)=m(1)\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)=m(1)

  1. Giải phương trình khi m=9
  2. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn:

1x1+1x2+1x3+1x4=−1\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+\frac{1}{{{x}_{3}}}+\frac{1}{{{x}_{4}}}=-1 (*)

Bài 7:

Cho phương trình :

(x2−3x+2).(x2−9x+20)=m(1)\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right).\left( {{x}^{2}}-9x+20 \right)=m(1)

  1. Giải phương trình m=4
  2. Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt sao cho x12+x22+x32+x42=2x1x2x3x4−30x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}-30
  3. Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm.

Bài 8:

Giải các phương trình:

  1. (x−1)(x−2)(x−4)(x−8)=109x2\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)\left( x-8 \right)=\frac{10}{9}{{x}^{2}}
  2. (x2+3x+2)(x2+9x+18)=168x2\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+9x+18 \right)=168{{x}^{2}}

Bài 9:

Giải các phương trình sau:

  1. x4+2x3−6x2+2x+1=0{{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+2x+1=0     (1)
  2. 2x4−5x3+6x2−5x+2=02{{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-5x+2=0   (2)

Bài 10:

Chứng minh rằng nếu phương trình:

x4+bx3+cx2+bx+1=0{{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+bx+1=0   (1)

Có nghiệm thì : b2+(c−2)2>3{{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}>3

Bài 11:

 cho phương trình x4−a.x3−(2a+1)x2+a.x+1=0{{x}^{4}}-a.{{x}^{3}}-\left( 2a+1 \right){{x}^{2}}+a.x+1=0   (1)

Định a để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 1.

Bài 12:

Cho phương trình x4+a.x3+x2+a.x+1=0{{x}^{4}}+a.{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+a.x+1=0    (1)

Tìm a để phương trình không có ít hơn hai nghiệm âm.

Bài 13:

Cho  phương trình x4+2a.x2+2a.x+a2+2a+1=0{{x}^{4}}+2a.{{x}^{2}}+2a.x+{{a}^{2}}+2a+1=0   (1)

Với mỗi a, gọi xa{{x}_{a}} là nghiệm bé nhất của phương trình . Xác định a để xa{{x}_{a}} nhỏ nhất.

Bài 14:

Giải phương trình: 3(x2−x+1)2−2(x+1)2=5(x3+1)3{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}-2{{\left( x+1 \right)}^{2}}=5\left( {{x}^{3}}+1 \right)

Bài 15:

Tìm m để phương trình:

4x2x4+2x2+1+2.mx1+x2+1−m2=0\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}+2.\frac{mx}{1+{{x}^{2}}}+1-{{m}^{2}}=0 có nghiệm.

Lời giải chi tiết

Bài 1:

Đặt t=x+1t=\sqrt{x}+1 với 0≤x≤4⇒1≤t≤30\le x\le 4\Rightarrow 1\le t\le 3

Phương trình (1) trở thành (m+1)t2−2mt+2m=0(2)\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2mt+2m=0(2)

  • ứng với một nghiệm t∈[1;3]t\in \left[ 1;3 \right] thì phương trình t=x+1t=\sqrt{x}+1 có đúng một nghiệm x∈[0;4]x\in \left[ 0;4 \right] nên:

+ phương trình (1) có một nghiệm x∈[0;4]x\in \left[ 0;4 \right] thì (2) có một nghiệm t∈[1;3]t\in \left[ 1;3 \right]

Vậy m=-2 thảo mãn đề bài.

+ phương trình (2) có nghiệm t1;t2{{t}_{1}};{{t}_{2}} thảo mãn

  • nếu (2) có nghiệm t1=1 thì từ (2) m+1-2m+2m=0 ⇒m=-1, giá trị này không thỏa mãn

 ( vì m≠-1)

  • nếu (2) có nghiệm t2=3 thì từ (2) ⇒5m+9=0⇒m=−95\Rightarrow m=\frac{-9}{5}

Với m=−95m=-\frac{9}{5} thì (2) trở thành −45t2+185t−185=0-\frac{4}{5}{{t}^{2}}+\frac{18}{5}t-\frac{18}{5}=0

  • còn lại phương trình (2) có hai nghiệm t1;t2 thỏa mãn:

  • Vậy  các giá trị của m cần tìm là $\frac{-9}{5}

    Bài 2:

    Phương trình (1) ⇔sin⁡x(4sin⁡2x−2m.sin⁡x+m−2)=0\Leftrightarrow \sin x\left( 4{{\sin }^{2}}x-2m.\sin x+m-2 \right)=0

Phương trình (2) trở thành 4t2−2mt+m−2=0(3)4{{t}^{2}}-2mt+m-2=0(3)

+ Ứng với mỗi nghiệm t1∈(0,1){{t}_{1}}\in \left( 0,1 \right) thì phương trình t=sinx có đúng bốn nghiệm 

+ Ứng với mỗi nghiệm t2∈(−1;0){{t}_{2}}\in \left( -1;0 \right) thì phương trình t=sinx có đúng hai nghiệm  nên để (1) có đúng tám nghiệm  thì (2) có đúng sáu nghiệm và khác các nghiệm số π;2π\pi ;2\pi . Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm t1;t2 thỏa mãn −1<t1<0<t2<1-1<{{t}_{1}}<0<{{t}_{2}}<1 hoặc nghiệm t1∈(0,1){{t}_{1}}\in \left( 0,1 \right) còn t2=1

  1. Nếu phương trình có nghiệm t2=1 thì từ (3) ⇒4−2m+m−2=0\Rightarrow 4-2m+m-2=0
  2. Phương trình (3) có hai nghiệm t1;t2 thỏa mãn −1<t1<0<t2<1-1<{{t}_{1}}<0<{{t}_{2}}<1

Vậy giá trị của m cần tìm là: $-\frac{2}{3}

Bài 3:

Đặt t=x2≥0t={{x}^{2}}\ge 0

  1. Trở thành t2−(3m+1)t+3m=0(2){{t}^{2}}-\left( 3m+1 \right)t+3m=0(2)

Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt 0<t1<t20<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}

Khi đó bốn nghiệm của (1) là: −t2;−t1;t1;t2-\sqrt{{{t}_{2}}};-\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{2}}}

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng:

⇔t2−t1=t1−(−t1)⇔t2=9t1\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}}=\sqrt{{{t}_{1}}}-(-\sqrt{{{t}_{1}}})\Leftrightarrow {{t}_{2}}=9{{t}_{1}}

Theo định lí Viet ta được:

KL

Bài 4:

Đặt t=x2≥0t={{x}^{2}}\ge 0

  1. ⇔t2−2(m−2)t+4−3m=0(2)\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2\left( m-2 \right)t+4-3m=0(2)

Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm thỏa mãn:

  1. Có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu

Vậy các giá trị của m cần tìm là : m>43\frac{4}{3}

Bài 5:

Đặt t=x-1⇒x=t+1\Rightarrow x=t+1

Phương trình trở thành :

Bài 6:

Phương trình (1)

Đặt t=x2+4x+4=(x+2)2≥0t={{x}^{2}}+4x+4={{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 0

Ta có (2) trở thành 

Với t=0 ⇔x=−2x=-2

Với t=10 ⇔(x+2)2=10⇔x=−2−10∨x=10−2\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow x=-2-\sqrt{10}\vee x=\sqrt{10}-2

Vậy phương trình có các nghiệm là:

2. Để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (3) có hai nghiệm phân biệt dương : 0<t1<t20<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}

Khi đó m=-7 ( thỏa mãn (a))

Vậy m=-7 là giá trị cần tìm.

Bài 7:

  1.  

Đặt t=x2−6x+9=(x−3)2≥0t={{x}^{2}}-6x+9={{\left( x-3 \right)}^{2}}\ge 0

  1. Trở thành:

Với t=0 ⇔x=3\Leftrightarrow x=3

Với t= 5⇔(x−3)2=5⇔x=3±5\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{5}

2Để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (3) có hai nghiệm 0<t1<t20<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}

Ứng với nghiệm t1>0{{t}_{1}}>0 thì phương trình x2−6x+9=t1{{x}^{2}}-6x+9={{t}_{1}}

⇔x2−6x+9−t1=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9-{{t}_{1}}=0 có hai nghiệm x1;x2 và

Ứng với nghiệm t2>0{{t}_{2}}>0 thì phương trình x2−6x+9−t2=0{{x}^{2}}-6x+9-{{t}_{2}}=0 có hai nghiệm x3;x4{{x}_{3}};{{x}_{4}} và

Với m=2523m=\frac{25}{23} ( thỏa mãn (a))

Vậy m=2523m=\frac{25}{23} là giá trị cần tìm.

3.Để (1) có đúng hai nghiệm thì (3) có nghiệm thỏa mãn

(3)Có nghiệm kép dương hoặc (3) có hai nghiệm trái dấu.

Bài 8:

  1. Phương trình (1)

Đặt t=x+8x≥42t=x+\frac{8}{x}\ge 4\sqrt{2}

  1. (x2+3x+2)(x2+9x+18)=168x2\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+9x+18 \right)=168{{x}^{2}}

Đặt t=x+6x≥26t=x+\frac{6}{x}\ge 2\sqrt{6}

Phương trình (*) trở thành:

Bài 9:

  1. Chia hai vế của phương trình cho x2≠0{{x}^{2}}\ne 0 ta được:

x2+1x2+2(x+1x)−6=0⇔(x+1x)2+2(x+1x)−8=0{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)-6=0\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)-8=0

Đặt t=x+1xt=x+\frac{1}{x} ; điều kiện ∣t∣≥2\left| t \right|\ge 2

Với t=-4 ⇔x+1x=−4⇔x2+4x+1=0⇔x=−2±3\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+1=0\Leftrightarrow x=-2\pm \sqrt{3}

Vậy phương trình có các nghiệm là x=1 và x=−2±3x=-2\pm \sqrt{3}

Bài 10:

Giả sử x0≠0{{x}_{0}}\ne 0 là một nghiệm của phương trình thì (1) tương đương với:

x02+1x02+b(x0+1x0)+c=0x_{0}^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}}+b\left( {{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}} \right)+c=0    (2)

Đặt t=x0+1x0t={{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}} ; điều kiện ∣t∣≥2\left| t \right|\ge 2

Khi đó (2) trở thành : t2+bt+c−2=0⇒−t2=bt+c−2{{t}^{2}}+bt+c-2=0\Rightarrow -{{t}^{2}}=bt+c-2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopxki ta được:

Ta sẽ chứng minh ∀∣t∣≥2\forall \left| t \right|\ge 2 thì t4t2+1>3\frac{{{t}^{4}}}{{{t}^{2}}+1}>3   (3)

Thật vậy : (3)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 11:

Vì x=0 không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của (1) cho x2 ta được:

x2+1x2−a(x−1x)−2a−1=0{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-a\left( x-\frac{1}{x} \right)-2a-1=0

Đặt t=x−1xt=x-\frac{1}{x}, t∈Rt\in \mathbb{R}

Phương trình đã cho trở thành : t2+2−at−2a−1=0{{t}^{2}}+2-at-2a-1=0

⇔t2−at−2a+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}-at-2a+1=0 (2)

+ với a>1

Xét hàm số t=x−1x=x2−1x>0t=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x}^{2}}-1}{x}>0 với ∀x>1\forall x>1 hàm số luôn đồng biến.

Vậy t>0

Mặt khác phương trình t=x−1x⇔x2−tx−1=0t=x-\frac{1}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-tx-1=0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1<0<x2{{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}

Do đó để (1) có hai nghiệm lớn hơn 1 thì (2)có hai nghiệm phân biệt dương:

Vậy giá trị cần tìm của a là: 

Bài 12:

Vì x=0 không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của (1) cho x2 ta được:

x2+1x2+a(x+1x)+1=0{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+a\left( x+\frac{1}{x} \right)+1=0

Đặt t=x+1xt=x+\frac{1}{x} ; điều kiện ∣t∣≥2\left| t \right|\ge 2

Phương trình trên trở thành : t2−2+at+1=0⇔t2+at−1=0{{t}^{2}}-2+at+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+at-1=0   (2)

+ Nếu t<-2 thì phương trình x+1x=t⇔x2−tx+1=0x+\frac{1}{x}=t\Leftrightarrow {{x}^{2}}-tx+1=0 luôn có hai nghiệm âm vì

+ Nếu t>2 thì phương trình x2−tx+1=0{{x}^{2}}-tx+1=0 có hai nghiệm dương. Nên để phương trình (1) có không ít hơn hai nghiệm âm thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm t<-2

Phương trình (2) ⇔t2−1=−at⇔t2−1t=−a\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=-at\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-1}{t}=-a

Ta có : xét hàm số f(t)=t−1t=t2−1t&lt;0f\left( t \right)=t-\frac{1}{t}=\frac{{{t}^{2}}-1}{t}&lt;0  với t<-2. Vậy hàm số nghịch biến

Ta có : −a32-a\frac{3}{2}

Vậy các giá trị của a thỏa mãn đề bài là: a&gt;32a&gt;\frac{3}{2}

Bài 13:

Gọi xn là nghiệm của phương trình (1) thì:

Phương trình này là phương trình bậc hai theo ẩn a và phải có nghiệm nên:

Thế vào (2) ta được: a2_2a+1=0⇔a=−1{{a}^{2}}\_2a+1=0\Leftrightarrow a=-1

Vậy giá trị của a cần tìm là: a=-1

Bài 14:

3(x2−x+1)2−2(x+1)2=5(x3+1)3{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}-2{{\left( x+1 \right)}^{2}}=5\left( {{x}^{3}}+1 \right)

⇔3(x2−x+1)2−2(x+1)2=5(x+1)(x2−x+1)\Leftrightarrow 3{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}-2{{\left( x+1 \right)}^{2}}=5\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) (1)

+ nếu x =-1 thì (1) trở thành 3.9=0 ( vô lý)

+ Nếu x ≠−1\ne -1 , chia hai vế  của (1) cho (x+1)(x2−x+1)\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right) ta được:

3.x2−x+1x+1−2x+1x2−x+1=53.\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x+1}-2\frac{x+1}{{{x}^{2}}-x+1}=5

Đặt t=x2−x+1x+1t=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x+1} phương trình trở thành:

Bài 15:

Đặt t=2x1+x2;∣t∣≤1⇒t2=4x2x4+2x2+1t=\frac{2x}{1+{{x}^{2}}};\left| t \right|\le 1\Rightarrow {{t}^{2}}=\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}

Phương trình (1) trở thành t2+mt+1−m2=0(2){{t}^{2}}+mt+1-{{m}^{2}}=0(2)

Đặt f(t)=t2+mt+1−m2f\left( t \right)={{t}^{2}}+mt+1-{{m}^{2}}    

Phương trình (2) có nghiệm t1; t2 thỏa mãn

 

Bài viết gợi ý:

1. Giải bài toán bằng cách lập phương trình

2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN HÀM SỐ BẬC NHẤT

3. CÁC DẠNG BÀI TẬP HÀM SỐ BẬC NHẤT

4. Phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng định nghĩa

5. Ôn tập về định nghĩa, tính chất cơ bản của bất đẳng thức

6. Dạng toán về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số-Ôn thi vào 10

7. Một số bài tập về bất đẳng thức