Bài 1:
Cho phương trình $\left( m+1 \right){{\left( \sqrt{x}+1 \right)}^{2}}-2m\left( \sqrt{x}+1 \right)+2m=0(1)$
Định m để phương trình có một nghiệm thuộc $\left[ 0;4 \right]$
Bài 2:
Cho phương trình : \[sin3x-m.\text{ }cos2x-\left( m\text{ }+1 \right)\text{ }sin\text{ }x\text{ }+m=0\text{ }\left( 1 \right)\]
Định m để phương trình có đúng tám nghiệm .png)
Bài 3:
Cho phương trình ${{x}^{4}}-\left( m+2 \right){{x}^{2}}+4m+1=0(1)$
Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Bài 4:
Cho phương trình ${{x}^{4}}-2\left( m-2 \right){{x}^{2}}+4-3m=0(1)$
Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài 5:
Giải phương trình sau:
${{\left( x+1 \right)}^{4}}+{{\left( x-3 \right)}^{4}}=32$
Bài 6:
Cho phương trình $\left( {{x}^{2}}-1 \right)\left( x+3 \right)\left( x+5 \right)=m(1)$
- Giải phương trình khi m=9
- Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt thỏa mãn:
$\frac{1}{{{x}_{1}}}+\frac{1}{{{x}_{2}}}+\frac{1}{{{x}_{3}}}+\frac{1}{{{x}_{4}}}=-1$ (*)
Bài 7:
Cho phương trình :
$\left( {{x}^{2}}-3x+2 \right).\left( {{x}^{2}}-9x+20 \right)=m(1)$
- Giải phương trình m=4
- Tìm m để phương trình có bốn nghiệm phân biệt sao cho $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}=2{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}{{x}_{4}}-30$
- Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm.
Bài 8:
Giải các phương trình:
- $\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-4 \right)\left( x-8 \right)=\frac{10}{9}{{x}^{2}}$
- $\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+9x+18 \right)=168{{x}^{2}}$
Bài 9:
Giải các phương trình sau:
- ${{x}^{4}}+2{{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+2x+1=0$ (1)
- $2{{x}^{4}}-5{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-5x+2=0$ (2)
Bài 10:
Chứng minh rằng nếu phương trình:
${{x}^{4}}+b{{x}^{3}}+c{{x}^{2}}+bx+1=0$ (1)
Có nghiệm thì : ${{b}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}}>3$
Bài 11:
cho phương trình ${{x}^{4}}-a.{{x}^{3}}-\left( 2a+1 \right){{x}^{2}}+a.x+1=0$ (1)
Định a để phương trình có hai nghiệm lớn hơn 1.
Bài 12:
Cho phương trình ${{x}^{4}}+a.{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+a.x+1=0$ (1)
Tìm a để phương trình không có ít hơn hai nghiệm âm.
Bài 13:
Cho phương trình ${{x}^{4}}+2a.{{x}^{2}}+2a.x+{{a}^{2}}+2a+1=0$ (1)
Với mỗi a, gọi ${{x}_{a}}$ là nghiệm bé nhất của phương trình . Xác định a để ${{x}_{a}}$ nhỏ nhất.
Bài 14:
Giải phương trình: $3{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}-2{{\left( x+1 \right)}^{2}}=5\left( {{x}^{3}}+1 \right)$
Bài 15:
Tìm m để phương trình:
$\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}+2.\frac{mx}{1+{{x}^{2}}}+1-{{m}^{2}}=0$ có nghiệm.
Lời giải chi tiết
Bài 1:
Đặt $t=\sqrt{x}+1$ với $0\le x\le 4\Rightarrow 1\le t\le 3$
Phương trình (1) trở thành $\left( m+1 \right){{t}^{2}}-2mt+2m=0(2)$
- ứng với một nghiệm $t\in \left[ 1;3 \right]$ thì phương trình $t=\sqrt{x}+1$ có đúng một nghiệm $x\in \left[ 0;4 \right]$ nên:
+ phương trình (1) có một nghiệm $x\in \left[ 0;4 \right]$ thì (2) có một nghiệm $t\in \left[ 1;3 \right]$
.png)
Vậy m=-2 thảo mãn đề bài.
+ phương trình (2) có nghiệm ${{t}_{1}};{{t}_{2}}$ thảo mãn
.png)
- nếu (2) có nghiệm t1=1 thì từ (2) m+1-2m+2m=0 ⇒m=-1, giá trị này không thỏa mãn
( vì m≠-1)
- nếu (2) có nghiệm t2=3 thì từ (2) ⇒5m+9=0$\Rightarrow m=\frac{-9}{5}$
Với $m=-\frac{9}{5}$ thì (2) trở thành $-\frac{4}{5}{{t}^{2}}+\frac{18}{5}t-\frac{18}{5}=0$
.png)
- còn lại phương trình (2) có hai nghiệm t1;t2 thỏa mãn:
.png)
-
Vậy các giá trị của m cần tìm là $\frac{-9}{5}
Bài 2:
Phương trình (1) $\Leftrightarrow \sin x\left( 4{{\sin }^{2}}x-2m.\sin x+m-2 \right)=0$
-
.png)
Phương trình (2) trở thành $4{{t}^{2}}-2mt+m-2=0(3)$
+ Ứng với mỗi nghiệm ${{t}_{1}}\in \left( 0,1 \right)$ thì phương trình t=sinx có đúng bốn nghiệm .png)
+ Ứng với mỗi nghiệm ${{t}_{2}}\in \left( -1;0 \right)$ thì phương trình t=sinx có đúng hai nghiệm .png)
nên để (1) có đúng tám nghiệm .png)
thì (2) có đúng sáu nghiệm .png)
và khác các nghiệm số $\pi ;2\pi $ . Điều này xảy ra khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm t1;t2 thỏa mãn $-1<{{t}_{1}}<0<{{t}_{2}}<1$ hoặc nghiệm ${{t}_{1}}\in \left( 0,1 \right)$ còn t2=1
- Nếu phương trình có nghiệm t2=1 thì từ (3) $\Rightarrow 4-2m+m-2=0$
.png)
- Phương trình (3) có hai nghiệm t1;t2 thỏa mãn $-1<{{t}_{1}}<0<{{t}_{2}}<1$
.png)
Vậy giá trị của m cần tìm là: $-\frac{2}{3}
Bài 3:
Đặt $t={{x}^{2}}\ge 0$
- Trở thành ${{t}^{2}}-\left( 3m+1 \right)t+3m=0(2)$
Để (1) có 4 nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm phân biệt $0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}$
.png)
Khi đó bốn nghiệm của (1) là: $-\sqrt{{{t}_{2}}};-\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{1}}};\sqrt{{{t}_{2}}}$
Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng:
$\Leftrightarrow \sqrt{{{t}_{2}}}-\sqrt{{{t}_{1}}}=\sqrt{{{t}_{1}}}-(-\sqrt{{{t}_{1}}})\Leftrightarrow {{t}_{2}}=9{{t}_{1}}$
Theo định lí Viet ta được:
.png)
KL
Bài 4:
Đặt $t={{x}^{2}}\ge 0$
- $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-2\left( m-2 \right)t+4-3m=0(2)$
Để (1) có hai nghiệm phân biệt thì (2) có hai nghiệm thỏa mãn:
- Có nghiệm kép dương hoặc (2) có hai nghiệm trái dấu
.png)
Vậy các giá trị của m cần tìm là : m>$\frac{4}{3}$
Bài 5:
Đặt t=x-1$\Rightarrow x=t+1$
Phương trình trở thành :
.png)
Bài 6:
Phương trình (1)
.png)
Đặt $t={{x}^{2}}+4x+4={{\left( x+2 \right)}^{2}}\ge 0$
Ta có (2) trở thành
.png)
.png)
Với t=0 ⇔\[x=-2\]
Với t=10 $\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}=10\Leftrightarrow x=-2-\sqrt{10}\vee x=\sqrt{10}-2$
Vậy phương trình có các nghiệm là:
.png)
2. Để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (3) có hai nghiệm phân biệt dương : $0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}$
.png)
.png)
Khi đó m=-7 ( thỏa mãn (a))
Vậy m=-7 là giá trị cần tìm.
Bài 7:
.png)
Đặt $t={{x}^{2}}-6x+9={{\left( x-3 \right)}^{2}}\ge 0$
- Trở thành:
.png)
.png)
Với t=0 $\Leftrightarrow x=3$
Với t= 5$\Leftrightarrow {{\left( x-3 \right)}^{2}}=5\Leftrightarrow x=3\pm \sqrt{5}$
2Để (1) có bốn nghiệm phân biệt thì (3) có hai nghiệm $0<{{t}_{1}}<{{t}_{2}}$
.png)
Ứng với nghiệm ${{t}_{1}}>0$ thì phương trình ${{x}^{2}}-6x+9={{t}_{1}}$
$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-6x+9-{{t}_{1}}=0$ có hai nghiệm x1;x2 và.png)
Ứng với nghiệm ${{t}_{2}}>0$ thì phương trình ${{x}^{2}}-6x+9-{{t}_{2}}=0$ có hai nghiệm ${{x}_{3}};{{x}_{4}}$ và .png)
.png)
Với $m=\frac{25}{23}$ ( thỏa mãn (a))
Vậy $m=\frac{25}{23}$ là giá trị cần tìm.
3.Để (1) có đúng hai nghiệm thì (3) có nghiệm thỏa mãn
(3)Có nghiệm kép dương hoặc (3) có hai nghiệm trái dấu.
.png)
Bài 8:
- Phương trình (1)
.png)
Đặt $t=x+\frac{8}{x}\ge 4\sqrt{2}$
.png)
- $$ $$ $\left( {{x}^{2}}+3x+2 \right)\left( {{x}^{2}}+9x+18 \right)=168{{x}^{2}}$
.png)
Đặt $t=x+\frac{6}{x}\ge 2\sqrt{6}$
Phương trình (*) trở thành:
.png)
Bài 9:
- Chia hai vế của phương trình cho ${{x}^{2}}\ne 0$ ta được:
${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)-6=0\Leftrightarrow {{\left( x+\frac{1}{x} \right)}^{2}}+2\left( x+\frac{1}{x} \right)-8=0$
Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ ; điều kiện $\left| t \right|\ge 2$
.png)
Với t=-4 $\Leftrightarrow x+\frac{1}{x}=-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+1=0\Leftrightarrow x=-2\pm \sqrt{3}$
Vậy phương trình có các nghiệm là x=1 và $x=-2\pm \sqrt{3}$
.png)
Bài 10:
Giả sử ${{x}_{0}}\ne 0$ là một nghiệm của phương trình thì (1) tương đương với:
$x_{0}^{2}+\frac{1}{x_{0}^{2}}+b\left( {{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}} \right)+c=0$ (2)
Đặt $t={{x}_{0}}+\frac{1}{{{x}_{0}}}$ ; điều kiện $\left| t \right|\ge 2$
Khi đó (2) trở thành : ${{t}^{2}}+bt+c-2=0\Rightarrow -{{t}^{2}}=bt+c-2$
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiakopxki ta được:
.png)
Ta sẽ chứng minh $\forall \left| t \right|\ge 2$ thì $\frac{{{t}^{4}}}{{{t}^{2}}+1}>3$ (3)
Thật vậy : (3).png)
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 11:
Vì x=0 không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của (1) cho x2 ta được:
${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}-a\left( x-\frac{1}{x} \right)-2a-1=0$
Đặt $t=x-\frac{1}{x}$, $t\in \mathbb{R}$
Phương trình đã cho trở thành : ${{t}^{2}}+2-at-2a-1=0$
$\Leftrightarrow {{t}^{2}}-at-2a+1=0$ (2)
+ với a>1
Xét hàm số $t=x-\frac{1}{x}=\frac{{{x}^{2}}-1}{x}>0$ với $\forall x>1$ hàm số luôn đồng biến.
Vậy t>0
Mặt khác phương trình $t=x-\frac{1}{x}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-tx-1=0$ luôn có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}}<0<{{x}_{2}}$
Do đó để (1) có hai nghiệm lớn hơn 1 thì (2)có hai nghiệm phân biệt dương:
.png)
Vậy giá trị cần tìm của a là: .png)
Bài 12:
Vì x=0 không là nghiệm của (1) nên chia hai vế của (1) cho x2 ta được:
${{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}+a\left( x+\frac{1}{x} \right)+1=0$
Đặt $t=x+\frac{1}{x}$ ; điều kiện $\left| t \right|\ge 2$
Phương trình trên trở thành : ${{t}^{2}}-2+at+1=0\Leftrightarrow {{t}^{2}}+at-1=0$ (2)
+ Nếu t<-2 thì phương trình $x+\frac{1}{x}=t\Leftrightarrow {{x}^{2}}-tx+1=0$ luôn có hai nghiệm âm vì .png)
+ Nếu t>2 thì phương trình ${{x}^{2}}-tx+1=0$ có hai nghiệm dương. Nên để phương trình (1) có không ít hơn hai nghiệm âm thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm t<-2
Phương trình (2) $\Leftrightarrow {{t}^{2}}-1=-at\Leftrightarrow \frac{{{t}^{2}}-1}{t}=-a$
Ta có : xét hàm số $f\left( t \right)=t-\frac{1}{t}=\frac{{{t}^{2}}-1}{t}<0$ với t<-2. Vậy hàm số nghịch biến
Ta có : $-a\frac{3}{2}$
Vậy các giá trị của a thỏa mãn đề bài là: $a>\frac{3}{2}$
Bài 13:
Gọi xn là nghiệm của phương trình (1) thì:
.png)
Phương trình này là phương trình bậc hai theo ẩn a và phải có nghiệm nên:
.png)
Thế vào (2) ta được: ${{a}^{2}}\_2a+1=0\Leftrightarrow a=-1$
Vậy giá trị của a cần tìm là: a=-1
Bài 14:
$3{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}-2{{\left( x+1 \right)}^{2}}=5\left( {{x}^{3}}+1 \right)$
$\Leftrightarrow 3{{\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)}^{2}}-2{{\left( x+1 \right)}^{2}}=5\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$ (1)
+ nếu x =-1 thì (1) trở thành 3.9=0 ( vô lý)
+ Nếu x $\ne -1$ , chia hai vế của (1) cho $\left( x+1 \right)\left( {{x}^{2}}-x+1 \right)$ ta được:
$3.\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x+1}-2\frac{x+1}{{{x}^{2}}-x+1}=5$
Đặt $t=\frac{{{x}^{2}}-x+1}{x+1}$ phương trình trở thành:
.png)
Bài 15:
Đặt $t=\frac{2x}{1+{{x}^{2}}};\left| t \right|\le 1\Rightarrow {{t}^{2}}=\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1}$
Phương trình (1) trở thành ${{t}^{2}}+mt+1-{{m}^{2}}=0(2)$
Đặt $f\left( t \right)={{t}^{2}}+mt+1-{{m}^{2}}$
Phương trình (2) có nghiệm t1; t2 thỏa mãn .png)
.png)
