Tứ giác nội tiếp

Tứ giác nội tiếp

I . Lí thuyết:

1 . Định nghĩa và định lí:

a, Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (gọi tắt là nội tiếp đường tròn).

b, Định lí:

Trong một tứ giác nôị tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 180°

ABCD nội tiếp đường tròn (O).

c, Định lí đảo:

Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180° thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.

2 . Phương pháp chứng minh

- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng cách đều một điểm.

- Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bằng nhau.

- Chứng minh hai điểm cùng nhìn đoạn thẳng tạo bởi hai điểm còn lại hai góc bằng nhau.

- Chứng minh tổng của góc ngoài tại một đỉnh với góc đối diện bằng nhau.

- Nếu: MA.MB=MC.MD hoặc NA.ND=NC.NB thì tứ giác ABCD nội tiếp ( trong đó M là giao của AB và CD; N là giao của AD và BC)

Nếu PA.PC=PB.PD thì tứ giác ABCD nội tiếp (trong đó P là giao của AC và BD)

- Chứng minh tứ giác là hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông,...

Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn ta có thể chứng minh lần lượt 4 điểm một lúc. Song cần chú ý tính chất “ Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định duy nhất một đường tròn “

II . Bài toán :

Bài toán 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. Chứng minh rằng:

a, Tứ giác CEHD nội tiếp;

b, Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn;

c, AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC;

d, H và M đối xứng nhau qua BC;

e, Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Giải

a, Xét tứ giác CEHD ta có :

\[\widehat{CEH}=90{}^\circ \](Vì BE là đường cao )

\[\widehat{CDH}=90{}^\circ \](Vì AD là đường cao)

\[\Rightarrow \widehat{CEH}+\widehat{CDH}=180{}^\circ \]

Mà \[\widehat{CEH}\]và \[\widehat{CDH}\]là hai góc đối của tứ giác CEHD. Do đó CEHD là tứ giác nội tiếp.

b, Theo giả thiết :

+ BE là đường cao => \[BE\bot AC\]\[\Rightarrow \widehat{BEC}=90{}^\circ \]

+ CF là đường cao \[\Rightarrow CF\bot AB\Rightarrow \widehat{BFC}=90{}^\circ \]

Như vậy E và F cùng nhìn BC dưới một góc \[90{}^\circ \]; A là góc chung

Vậy bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

c, Xét hai tam giác AEH và ADC ta có:

\[\widehat{AEH}=\widehat{ADC}=90{}^\circ \]

\[\widehat{C}\]là góc chung

* Xét hai tam giác BEC và ADC ta có :

\[\widehat{BEC}=\widehat{ADC}=90{}^\circ \]

\[\widehat{C}\]là góc chung

d, Ta có \[\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{A}_{1}}}\] ( vì cùng phụ với góc ABC )

\[\widehat{{{C}_{2}}}=\widehat{{{A}_{1}}}\]( Vì là hai góc nội tiếp cùng chắn \[\overset\frown{BM}\])

\[\Rightarrow \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{C}_{2}}}\Rightarrow \]CB là tia phân giác của \[\widehat{HCM}\] ; lại có \[CB\bot HM\Rightarrow \Delta CHM\]cân tại C

=> CB cũng là đường trung trực của HM. Vậy H và M đối xứng nhau qua BC.

e, Theo chứng minh trên bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn

\[\Rightarrow \widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{E}_{1}}}\]( vì là hai góc nội tiêp cùng chắn cung \[\overset\frown{BF}\] )

Cũng theo chứng minh trên CEHD là tứ giác nội tiếp

\[\widehat{{{C}_{1}}}=\widehat{{{E}_{2}}}\]( vì là hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[\overset\frown{HD}\] )

\[\widehat{{{E}_{1}}}=\widehat{{{E}_{2}}}\]=> EB là tia phân giác của góc FED.

Chứng minh tương tự ta cũng có FC là tia phân giác của góc DFE mà BE và CF cắt nhau tại H do đó H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Bài toán 2: Cho tam giác cân ABC ( AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp , K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm IK.

a, Chứng minh B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn;

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c, Tính bán kính đường tròn (O) Biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm.

Giải

a, Vì I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A nên BI và BK là hai tia phân giác của hai góc kề bù đỉnh B. Do đó \[BI\bot BK\,hay\,\widehat{IBK}=90{}^\circ \].

Tương tự ta cũng có \[\widehat{ICK}=90{}^\circ \]như vậy B và C cùng nằm trên một đường tròn đường kính IK do đó B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.

b, Ta có : \[\widehat{C{}_{1}}=\widehat{{{C}_{2}}}\] (1) ( vì CI là phân giác của góc ACH).

\[\widehat{C{}_{2}}+\widehat{{{I}_{1}}}=90{}^\circ \,\,(2)\] ( vì \[\widehat{IHC}=90{}^\circ \]).

\[\widehat{{{I}_{1}}}=\widehat{ICO}\,\,\,(3)\] ( vì tam giác OIC cân tại O )

Từ (1), (2) và (3) => \[\widehat{C{}_{2}}+\widehat{{{I}_{1}}}=90{}^\circ \,\,\]hay \[AC\bot OC\]. Vậy AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

c, Từ giả thiết AB = AC = 20cm, BC = 24cm => CH = 12cm.

\[A{{H}^{2}}=A{{C}^{2}}-H{{C}^{2}}\Rightarrow AH=\sqrt{{{20}^{2}}-{{12}^{2}}}=16\,(cm)\]

III . Bài tập tự luyện :

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH. Trên tia AC lấy điểm D sao cho AD = AB. Trên tia HC lấy điểm K sao cho HK = AH.

a, Chứng minh rằng bốn điểm A, D, K, B cùng thuộc một đường tròn.

b, Tính AKD?

Bài 2 Cho đường tròn (O), dâu BC. Các tiếp tuyến của đường tròn tại B và C cắt nhau ở điểm K. Tia KO cắt đường tròn (O) ở D và A ( D nằm giữa K và O ). GỌi E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh rằng:

a, Bốn điểm A, B, K, E thuộc cùng một đường tròn.

b, KE = KB.

Bài 3: Cho đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Kẻ tiếp tuyến chung CD của hai đường tròn, C thuộc (O) và D thuộc (O’). Gọi I là giao điểm của AB và CD, Gọi E là điểm đối xứng với B qua I. Chứng minh rằng:

a, BCED là hình bình hành.

b, Bốn điểm A, C, E, D thuộc cùng một đường tròn.

Bài 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại B của nửa đường tròn, lấy các điểm C và D ( BC < BD) . Các tia AC và AD cắt nửa đường tròn theoo thứ tự tại E và F ( khác A ). Chứng minh rằng CDFE là tứ giác nội tiếp.

Bài 5: Cho tam giác nhộn ABC nội tiếp đường tròn (O), các đường caoBD và CE. Chứng minh rằng:

a, BEDC là tứ giác nội tiếp.

b, AD.AC = AE.AB

c, \[OA\bot DE\]

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC), điểm E thuộc cạnh AC sao cho ABE = C. Vẽ đường tròn (O) đường kính EC, cắt BC ở H ( khác C ). Chứng minh rằng:

a, AECI là tứ giác nội tiếp

b, \[\widehat{ACB}+\widehat{AEB}=45{}^\circ \]

Bài 7: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và một dây CD. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD, cắt AB tại I. Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đường tròn cắt đường thẳng CD theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng:

a, AECI là tứ giác nội tiếp.

b, \[\widehat{EIF}=90{}^\circ \]